Question

Интеграл (sin2x-1)dx

Answer 1

Равно( - 1/2·cos2x - x).

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫(sin^2x - 1) dx, разложим sin^2x на более простые функции и произведем интегрирование по частям.

Заметим, что sin^2x = (1 - cos(2x)) / 2. Теперь выражение для интеграла становится:

∫(sin^2x - 1) dx = ∫((1 - cos(2x)) / 2 - 1) dx

Распишем его:

∫((1 - cos(2x)) / 2 - 1) dx = (1/2) ∫(1 - cos(2x)) dx - ∫1 dx

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

1. ∫(1 - cos(2x)) dx:

Интеграл от единицы просто равен x:

(1/2) ∫(1 - cos(2x)) dx = (1/2) (x - ∫cos(2x) dx)

2. ∫cos(2x) dx:

Для интегрирования cos(2x) возьмем замену u = 2x, тогда du = 2dx:

∫cos(2x) dx = (1/2) ∫cos(u) du = (1/2) sin(u) + C1 = (1/2) sin(2x) + C1

Вернемся к нашему выражению:

(1/2) (x - ∫cos(2x) dx) = (1/2) (x - (1/2) sin(2x) + C1)

3. ∫1 dx:

Интеграл от единицы просто равен x:

∫1 dx = x + C2

Теперь окончательно найдем интеграл:

(1/2) ∫(1 - cos(2x)) dx - ∫1 dx = (1/2) (x - (1/2) sin(2x) + C1) - (x + C2)

Упростим:

= (1/2) x - (1/4) sin(2x) + C1/2 - x - C2

= -(1/2) x - (1/4) sin(2x) + C, где C = C1/2 - C2.

Таким образом, окончательный ответ:

∫(sin^2x - 1) dx = -(1/2) x - (1/4) sin(2x) + C.

где C - произвольная постоянная интегрирования.