Question

Какое из тождеств верное? (Пожалуйста объясните почему оно будет верным.) а. sin4x + sin2x = 2 cos 3x sin x б. sin4x + sin2x = 2 sin 3x cos x в. sin4x + sin2x = 1/2 sin 3x cos x г. sin4x + sin2x = 1/2 cos 3x sin x

Answer 1

Верное тождество б).

$\boxed {sin \alpha +sin \beta =2\, sin \frac{\alpha + \beta }{2}\cdot cos \frac{\alpha - \beta }{2}} \\\\\\sin4x+sinx=2\; sin \frac{4x+2x}{2} \cdot cos \frac{4x-2x}{2} =2\; sin3x\cdot cosx$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из тождеств:

а. \( \sin(4x) + \sin(2x) = 2 \cos(3x) \sin(x) \)

Для начала, воспользуемся формулой сложения синусов:

\[ \sin(A + B) = \sin(A) \cos(B) + \cos(A) \sin(B) \]

Применим её к левой части:

\[ \sin(4x) + \sin(2x) = \sin(3x + x) + \sin(2x) \]

Теперь применим формулу сложения синусов:

\[ \sin(3x + x) + \sin(2x) = \sin(3x)\cos(x) + \cos(3x)\sin(x) + \sin(2x) \]

Теперь сравним это с правой частью уравнения \(2\cos(3x)\sin(x)\):

\[ 2\cos(3x)\sin(x) = 2(\cos(3x)\sin(x)) \]

Таким образом, тождество \(a\) не верно.

б. \( \sin(4x) + \sin(2x) = 2 \sin(3x) \cos(x) \)

Применим формулу сложения синусов к левой части:

\[ \sin(4x) + \sin(2x) = \sin(3x + x) + \sin(2x) \]

\[ \sin(3x + x) + \sin(2x) = \sin(3x)\cos(x) + \cos(3x)\sin(x) + \sin(2x) \]

Теперь сравним это с правой частью уравнения \(2\sin(3x)\cos(x)\):

\[ 2\sin(3x)\cos(x) = 2(\sin(3x)\cos(x)) \]

Таким образом, тождество \(б\) не верно.

в. \( \sin(4x) + \sin(2x) = \frac{1}{2} \sin(3x) \cos(x) \)

Применим формулу сложения синусов к левой части:

\[ \sin(4x) + \sin(2x) = \sin(3x + x) + \sin(2x) \]

\[ \sin(3x + x) + \sin(2x) = \sin(3x)\cos(x) + \cos(3x)\sin(x) + \sin(2x) \]

Теперь сравним это с правой частью уравнения \( \frac{1}{2} \sin(3x) \cos(x) \):

\[ \frac{1}{2} \sin(3x) \cos(x) = \frac{1}{2} (\sin(3x) \cos(x)) \]

Таким образом, тождество \(в\) не верно.

г. \( \sin(4x) + \sin(2x) = \frac{1}{2} \cos(3x) \sin(x) \)

Применим формулу сложения синусов к левой части:

\[ \sin(4x) + \sin(2x) = \sin(3x + x) + \sin(2x) \]

\[ \sin(3x + x) + \sin(2x) = \sin(3x)\cos(x) + \cos(3x)\sin(x) + \sin(2x) \]

Теперь сравним это с правой частью уравнения \( \frac{1}{2} \cos(3x) \sin(x) \):

\[ \frac{1}{2} \cos(3x) \sin(x) = \frac{1}{2} (\cos(3x) \sin(x)) \]

Таким образом, тождество \(г\) не верно.

Таким образом, ни одно из предложенных тождеств не верно.