Question

Исследовать функцию с помощью производной и построить её график y=1+3x^2-x^3

Answer 1

$y=-x^3+3x^2+1$
$y'=-3x^2+6x$
$-3x^2+6x=0$
$3x(-x+2)=0$
$x_{1} =0$
$x_{2} =2$
точки экстремумов:
у(0)=0+0+1=1
(0;1)
у(2)=1+12-8=5
(2;5)
$y'(x)\ \textless \ 0$, при х∈(-∞;0) - функция убывает
$y'(x)\ \textgreater \ 0$, при х∈(0;2) - возрастает
$y'(x)\ \textless \ 0$, при х∈(2;+∞) - убывает
при х=0 производная меняет знак с "-" на "+", значит точка х=0 - точка минимума 
при х=2 производная меняет знак с "+" на "-", значит точка х=2 - точка максимума.
График в файле....

Answer 2

Для исследования функции $y = 1 + 3x^2 - x^3$ с помощью производной, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции $y$ по $x$.

2. Решим уравнение $y' = 0$, чтобы найти критические точки функции.

3. Исследуем поведение функции в окрестности критических точек и на бесконечности.

4. Найдем значения функции в критических точках и на бесконечности.

5. Построим график функции.

6. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = \frac{d}{dx} (1 + 3x^2 - x^3) = 0 + 6x - 3x^2.$

7. Решим уравнение $y' = 0$ для нахождения критических точек: $6x - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x(2 - x) = 0.$

Отсюда получаем две критические точки: $x = 0$ и $x = 2$.

3. Исследуем поведение функции в окрестности критических точек и на бесконечности:

• При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$.
• При $x \to +\infty$, $y \to -\infty$.

4. Найдем значения функции в критических точках:

• При $x = 0$, $y = 1 + 3 \cdot 0^2 - 0^3 = 1$.
• При $x = 2$, $y = 1 + 3 \cdot 2^2 - 2^3 = 1 + 3 \cdot 4 - 8 = 1 + 12 - 8 = 5$.

Теперь построим график функции $y = 1 + 3x^2 - x^3$ для $x$ в интервале от $-3$ до $4$:

(Пожалуйста, обратите внимание, что я, как текстовая модель, не имею возможности непосредственно построить график, но вы можете использовать программу для построения графиков, такую как Desmos, GeoGebra или Matplotlib в Python, чтобы получить визуализацию функции.)