Question

30б.!!! На олимпиаде по математике приняло участие 58 человек: пятиклассники, шестиклассники, семиклассники, восьмиклассники и девятиклассники. Общее количество семиклассников и восьмиклассников в 6 раз меньше общего количества пятиклассников и шестиклассников. Общее количество пятиклассников и восьмиклассников в 5 раз больше общего количества шестиклассников и семиклассников. Сколько девятиклассников участвовало на олимпиаде?

Answer 1

Обозначим их а5, а6, а7, а8, а9.
a5+a6+a7+a8+a9=58
a5+a6 = 6*(a7+a8) = 6*a7+6*a8
a5+a8 = 5*(a6+a7) = 5*a6+5*a7
Подставляем 2 и 3 уравнения по очереди в 1 уравнение.
1) 6*a7+6*a8+a7+a8+a9=58
7*(a7+a8) = 58-a9
2) 5*a6+5*a7+a6+a7+a9=58
6*(a6+a7) = 58-a9.
Таким образом, получается, что число 58-a9 делится нацело на 6 и на 7.
Такое число меньше 58 только одно - 42.
58-a9 = 42
a9 = 58-42 = 16.
Ответ: 9-классников было 16.

Answer 2

Давайте обозначим количество пятиклассников, шестиклассников, семиклассников, восьмиклассников и девятиклассников за переменными:

Пусть: P = количество пятиклассников, S = количество шестиклассников, Se = количество семиклассников, E = количество восьмиклассников, N = количество девятиклассников.

Тогда у нас есть следующие условия:

1. Общее количество семиклассников и восьмиклассников в 6 раз меньше общего количества пятиклассников и шестиклассников: Se + E = 1/6 * (P + S).

2. Общее количество пятиклассников и восьмиклассников в 5 раз больше общего количества шестиклассников и семиклассников: P + E = 5 * (S + Se).

Теперь у нас есть система уравнений с двумя уравнениями и пятью неизвестными (P, S, Se, E, N).

Мы также знаем, что общее количество участников на олимпиаде равно 58:

P + S + Se + E + N = 58.

Для того чтобы решить эту систему уравнений, нам нужно либо добавить уравнения, чтобы устранить неизвестные, либо использовать метод подстановки. Воспользуемся методом подстановки:

1. Выразим Se из первого уравнения: Se = 1/6 * (P + S) - E.

2. Подставим значение Se во второе уравнение: P + E = 5 * (S + 1/6 * (P + S) - E).

3. Упростим уравнение: P + E = 5 * (7/6 * (P + S) - E).

4. Раскроем скобки: P + E = 35/6 * (P + S) - 5E.

5. Выразим E: E = (35/6 * (P + S) - P) / 6.

Теперь у нас есть выражение для E через P и S. Мы также знаем, что P, S, E, и N должны быть целыми числами и неотрицательными. Мы можем использовать это, чтобы перебрать возможные значения P и S и найти соответствующие значения E и N, которые удовлетворяют условиям.

Пример:

Пусть P = 4, S = 6.

Тогда из выражения для E получаем: E = (35/6 * (4 + 6) - 4) / 6 E = (35/6 * 10 - 4) / 6 E = (58 1/3 - 4) / 6 E = 54 1/3 / 6 E ≈ 9 (так как E должно быть целым числом).

Теперь, когда у нас есть значения P, S и E, мы можем найти значение N из уравнения общего количества участников:

P + S + Se + E + N = 58 4 + 6 + Se + 9 + N = 58 Se + N = 58 - 4 - 6 - 9 Se + N = 39.

Мы также знаем, что Se = 1/6 * (P + S) - E: Se = 1/6 * (4 + 6) - 9 Se = 10/6 - 9 Se ≈ 1.67 (так как Se должно быть целым числом, возьмем ближайшее целое число, т.е. 2).

Теперь у нас есть Se ≈ 2 и N ≈ 39.

Итак, на олимпиаде по математике участвовало примерно 39 девятиклассников.