Question

На олимпиаде по математике приняло участие 58 человек: пятиклассники, шестиклассники, семиклассники, восьмиклассники и девятиклассники. Общее количество семиклассников и восьмиклассников в 6 раз меньше общего количества пятиклассников и шестиклассников. Общее количество пятиклассников и восьмиклассников в 5 раз больше общего количества шестиклассников и семиклассников. Сколько девятиклассников участвовало на олимпиаде?

Answer 1

Решал уже. Обозначим их а5, а6, а7, а8, а9.
a5+a6+a7+a8+a9=58
a5+a6=6*(a7+a8)
a5+a8=5*(a6+a7)
Подставляем 2 и 3 уравнения в 1 по очереди
6*a7+6*a8+a7+a8+a9=58
5*a6+5*a7+a6+a7+a9=58
Приводим подобные
7*a7+7*a8=7*(a7+a8)=58-a9
6*a6+6*a7=6*(a6+a7)=58-a9
Значит, число 58-a9 делится на 6 и на 7, то есть равно 42.
а9=58-42=16 девятиклассников.

Answer 2

Предположим, что количество пятиклассников на олимпиаде равно F, количество шестиклассников равно S, количество семиклассников равно Se, количество восьмиклассников равно E, и количество девятиклассников равно N.

Из условия задачи у нас есть следующие уравнения:

1. F + S + Se + E + N = 58 (общее количество участников)

2. Se + E = (F + S) / 6 (общее количество семиклассников и восьмиклассников в 6 раз меньше общего количества пятиклассников и шестиклассников)

3. F + E = 5 * (S + Se) (общее количество пятиклассников и восьмиклассников в 5 раз больше общего количества шестиклассников и семиклассников)

Теперь решим систему уравнений:

Из уравнения 2 выразим Se + E через (F + S): Se + E = (F + S) / 6 E = (F + S) / 6 - Se

Подставим полученное значение E в уравнение 3: F + E = 5 * (S + Se) F + (F + S) / 6 - Se = 5 * (S + Se)

Упростим уравнение: 6F + F + S - 6Se = 30S + 30Se

Приведем подобные: 7F + S = 36Se + 30S

Теперь из уравнения 1 выразим S через F: S = 58 - (F + Se + E + N)

Теперь подставим это значение S в уравнение 7F + S = 36Se + 30S: 7F + (58 - (F + Se + E + N)) = 36Se + 30(58 - (F + Se + E + N))

Упростим уравнение: 7F + 58 - F - Se - E - N = 36Se + 30(58 - F - Se - E - N)

Приведем подобные: 6F + 58 - Se - E - N = 36Se + 30(58 - Se - E - N)

Теперь выразим Se через F: 36Se = 6F + 58 - Se - E - N - 30(58 - Se - E - N)

Упростим уравнение: 36Se = 6F + 58 - Se - E - N - 30*58 + 30Se + 30E + 30N

Приведем подобные: 36Se - 30Se + Se = 6F + 58 - 30*58 + 30E + 30N

Упростим уравнение: 7Se = 6F - 30*58 + 30E + 30N + 58

Выразим Se через F: Se = (6F - 30*58 + 30E + 30N + 58) / 7

Мы имеем уравнение для Se, и теперь мы можем рассмотреть возможные значения F, которые удовлетворяют условиям задачи.

Одно из таких возможных решений, которое удовлетворяет условиям задачи, это: F = 10 Se = 4 E = 10 S = 58 - (F + Se + E + N) = 58 - (10 + 4 + 10 + N) = 58 - 24 - N = 34 - N

Теперь, если общее количество пятиклассников и восьмиклассников равно F + E = 10 + 10 = 20, и оно в 5 раз больше общего количества шестиклассников и семиклассников, то: S + Se = 20 34 - N + 4 = 20 34 - N = 20 - 4 34 - N = 16 N = 34 - 16 N = 18

Таким образом, на олимпиаде участвовало 18 девятиклассников.