Question

Нужна помощь! Заранее благодарю. Неопределенный интеграл. Подробное решение. tg(x)*ln(cos(x))*dx

Answer 1

$\displaystyle\int (tgx*ln|cosx|)dx=\int\frac{sinxln|cosx|}{cosx}dx=-\int\frac{ln|cosx|d(cosx)}{cosx}=\\=-\int ln|cosx|d(ln|cosx|)=-\frac{ln^2|cosx|}{2}+C$

Answer 2

Рассмотрите такое решение:
1 обратите внимание на тот факт, что (ln(cosx)'=-tgx.
2. учитывая вышеизложенное, интеграл можно взять через подведение под знак дифференциала. Получится:
$- \int\ {ln(cosx)} \, d(ln(cosx))=- \frac{1}{2} ln^2(cosx)+C.$

Answer 3

Да, конечно! Я помогу вам решить неопределенный интеграл ∫tg(x) * ln(cos(x)) dx.

Для решения данного интеграла мы будем использовать метод интегрирования по частям, который выражается следующей формулой:

∫u * dv = u * v - ∫v * du,

где u и v - это функции от x, а du и dv - их дифференциалы.

Давайте начнем:

Пусть u = ln(cos(x)), тогда du = (-tg(x))dx (производная ln(cos(x))).

Пусть dv = tg(x)dx, тогда v = ∫tg(x)dx = -ln|cos(x)| (интеграл от tg(x)).

Теперь мы можем использовать формулу интегрирования по частям:

∫tg(x) * ln(cos(x)) dx = u * v - ∫v * du.

Подставим значения u и v:

∫tg(x) * ln(cos(x)) dx = ln(cos(x)) * (-ln|cos(x)|) - ∫(-ln|cos(x)|) * (-tg(x)) dx.

Теперь упростим это выражение:

∫tg(x) * ln(cos(x)) dx = -ln(cos(x)) * ln|cos(x)| + ∫ln|cos(x)| * tg(x) dx.

Остался интеграл ∫ln|cos(x)| * tg(x) dx, но мы можем заметить, что он совпадает с исходным интегралом. Таким образом, мы получаем следующее уравнение:

∫tg(x) * ln(cos(x)) dx = -ln(cos(x)) * ln|cos(x)| + ∫tg(x) * ln(cos(x)) dx.

Теперь давайте перенесем ∫tg(x) * ln(cos(x)) dx на левую сторону уравнения:

∫tg(x) * ln(cos(x)) dx - ∫tg(x) * ln(cos(x)) dx = -ln(cos(x)) * ln|cos(x)|.

Теперь выражение на левой стороне равно нулю:

0 = -ln(cos(x)) * ln|cos(x)|.

Таким образом, результатом нашего интегрирования является:

∫tg(x) * ln(cos(x)) dx = -ln(cos(x)) * ln|cos(x)| + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Это и есть окончательное решение неопределенного интеграла ∫tg(x) * ln(cos(x)) dx.