Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями у=2+х-х^2 и у=х+2

Answer 1

Найдем пределы интегрированиях²=х+2х²-х-2=0х1+х2=1 и х1*х2=-2х1=-1 и х2=2Фигура ограничена сверху прямой у=х+2,а снизу параболой.Площадь равна интегралу от -1 до 2 от функции х+2-х²S=x²/2+2x-x³/3|2-(-1)=2+4-8/3-1/2+2-1/3=4,5

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя заданными кривыми, необходимо определить точки их пересечения и найти интеграл разности этих функций между соответствующими пределами.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых. Поставим уравнения кривых в равенство и решим их:

1. y = 2 + x - x^2
2. y = x + 2

Приравняем y друг к другу: 2 + x - x^2 = x + 2

Теперь упростим уравнение и решим его: -x^2 + x = 0

Получаем квадратное уравнение, которое можно решить факторизацией: x(x - 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 1

Шаг 2: Определение пределов интегрирования. Теперь нам нужно определить, между какими значениями x мы будем интегрировать. Из графика или уравнений кривых видно, что кривые пересекаются в точках x = 0 и x = 1. Эти значения и будут пределами интегрирования.

Шаг 3: Найдем разность функций и вычислим интеграл. Разность функций (площадь между ними) будет равна: f(x) = (2 + x - x^2) - (x + 2) = -x^2 + x - x - 2 = -x^2 - 2

Теперь вычислим интеграл от функции f(x) на интервале [0, 1]: ∫[0, 1] (-x^2 - 2) dx

Для этого найдем первообразную функции f(x): F(x) = ∫ (-x^2 - 2) dx = (-1/3)x^3 - 2x

Теперь вычислим значение интеграла на интервале [0, 1]: ∫[0, 1] (-x^2 - 2) dx = F(1) - F(0) = [(-1/3)(1)^3 - 2(1)] - [(-1/3)(0)^3 - 2(0)] = [-1/3 - 2] - [0 - 0] = -7/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 2 + x - x^2 и y = x + 2 на интервале [0, 1], равна -7/3 квадратных единиц. Обратите внимание, что площадь является отрицательной, так как одна из кривых находится ниже другой на данном интервале.