Question

Интеграл xdx/x^4-81 решите,пожалуйста

Answer 1

Решение неопределенного интеграла

Answer 2

Чтобы найти интеграл функции x / (x^4 - 81), вам понадобится разложить знаменатель на простейшие множители. Начнем с этого:

x^4 - 81 - это разность квадратов (x^2)^2 - 9^2, которую можно факторизовать с помощью формулы разности квадратов:

x^4 - 81 = (x^2 - 9)(x^2 + 9).

Теперь у нас есть знаменатель, представленный в виде произведения двух множителей. Итак, интеграл можно записать следующим образом:

∫(x / (x^4 - 81)) dx = ∫(x / ((x^2 - 9)(x^2 + 9))) dx

Теперь мы можем разложить дробь на простейшие дроби с неизвестными коэффициентами A, B, C и D:

scssCopy code
x / ((x^2 - 9)(x^2 + 9)) = A/(x - 3) + B/(x + 3) + C/(x + 9) + D/(x - 9)

Теперь найдем значения коэффициентов A, B, C и D. Для этого приведем выражение к общему знаменателю и сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

scssCopy code
x = A(x + 3)(x + 9) + B(x - 3)(x + 9) + C(x - 3)(x - 9) + D(x - 3)(x + 3)

Теперь подставим значения x, которые сделают некоторые из коэффициентов равными нулю:

1. Пусть x = 3:

scssCopy code
3 = A(3 + 3)(3 + 9) + B(3 - 3)(3 + 9) + C(3 - 3)(3 - 9) + D(3 - 3)(3 + 3)
3 = 72A
A = 3/72 = 1/24

2. Пусть x = -3:

scssCopy code
-3 = A(-3 + 3)(-3 + 9) + B(-3 - 3)(-3 + 9) + C(-3 - 3)(-3 - 9) + D(-3 - 3)(-3 + 3)
-3 = 72B
B = -3/72 = -1/24

3. Пусть x = 9:

scssCopy code
9 = A(9 + 3)(9 + 9) + B(9 - 3)(9 + 9) + C(9 - 3)(9 - 9) + D(9 - 3)(9 + 3)
9 = 144D
D = 9/144 = 1/16

4. Пусть x = -9:

scssCopy code
-9 = A(-9 + 3)(-9 + 9) + B(-9 - 3)(-9 + 9) + C(-9 - 3)(-9 - 9) + D(-9 - 3)(-9 + 3)
-9 = -144C
C = 9/144 = 1/16

Теперь, когда мы нашли значения коэффициентов A, B, C и D, можем записать интеграл в виде суммы:

scssCopy code
∫(x / (x^4 - 81)) dx = ∫(1/24) / (x - 3) dx + ∫(-1/24) / (x + 3) dx + ∫(1/16) / (x + 9) dx + ∫(1/16) / (x - 9) dx

Интегрируем каждое слагаемое:

scssCopy code
∫(1/24) / (x - 3) dx = (1/24) * ln|x - 3| + C1

∫(-1/24) / (x + 3) dx = (-1/24) * ln|x + 3| + C2

∫(1/16) / (x + 9) dx = (1/16) * ln|x + 9| + C3

∫(1/16) / (x - 9) dx = (1/16) * ln|x - 9| + C4

Где C1, C2, C3, и C4 - это произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, окончательное решение:

scssCopy code
∫(x / (x^4 - 81)) dx = (1/24) * ln|x - 3| - (1/24) * ln|x + 3| + (1/16) * ln|x + 9| + (1/16) * ln|x - 9| + C

где C = C1 + C2 + C3 + C4 - это константа интегрирования.