Question

Применяя указанные подстановки, найти следующие интегралы: 1) ∫ dx/3x-4,t=3x-4 2) ∫ dx/√(a^2-x^2),t=ax 3) ∫ 4dx/sin^2*2x,t=2x 4) ∫ sin^3xcosxdx,t=sinx 5) ∫ sin^3xdx,t=cosx 6) ∫ tg xdx, t=cos x 7) ∫ xdx/√(1-x^2),t=1-x^2 или x=sin t 8) ∫ xdx/√(1+x^2), t=1+x^2 9)x^3dx/√(1+x^2), t=1+x^2 Спасибо.

Answer 1

$\displaystyle\int\frac{dx}{3x-4}=\frac{1}{3}\int\frac{dt}{t}=\frac{1}{3}ln|t|+C=\frac{1}{3}ln|3x-4|+C\\\\t=3x-4;dt=3dx;dx=\frac{dt}{3}$

$\displaystyle\int\frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{a}\int\frac{dt}{a^2-\frac{t^2}{a^2}}=-a\int\frac{dt}{t^2-a^4}=-\frac{a}{2a^2}ln|\frac{t-a^2}{t+a^2}|+C\\=-\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\\t=ax;x=\frac{t}{a};dx=\frac{dt}{a}$

$\displaystyle\int\frac{4dx}{sin^22x}=2\int\frac{dt}{sin^2t}=-2ctgt+C=-2ctg2x+C\\t=2x;dt=2dx;dx=\frac{dt}{2}$

$\displaystyle\int sin^3xcosxdx=\int t^3dt=\frac{t^4}{4}+C=\frac{sin^4x}{4}+C\\t=sinx;dt=cosxdx;dx=\frac{dt}{cosx}$

$\displaystyle\int sin^3xdx=\int(t^2-1)dt=\frac{t^3}{3}-t+C=\frac{cos^3x}{3}-cosx+C\\t=cosx;dt=-sinxdx;dx=-\frac{dt}{sinx}$

$\displaystyle\int tg xdx=-\int\frac{dt}{t}=-ln|t|+C=-ln|cosx|+C\\t=cosx;dt=-sinxdx;dx=-\frac{dt}{sinx}$

$\displaystyle\int\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt t}=-\sqrt t+C=-\sqrt{1-x^2}+C\\t=1-x^2;dt=-2xdx;dx=-\frac{dt}{2x}\\\\\int\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}=\int sintdt=-cost+C=-cos(arcsinx)+C\\x=sint;t=arcsinx;dt=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};dx=\sqrt{1-x^2}dt$

$\displaystyle \int\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt t}=\sqrt t+C=\sqrt{1+x^2}+C\\t=1+x^2;dt=2xdx;dx=\frac{dt}{2x}$

$\displaystyle \int\frac{x^3dx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{2}\int\frac{t-1}{\sqrt t}dt=\frac{1}{2}\int(\sqrt t-\frac{1}{\sqrt t})dt=\frac{\sqrt{t^3}}{3}-\sqrt t+C\\=\frac{\sqrt{(1+x^2)^3}}{3}-\sqrt{1+x^2}+C\\t=1+x^2;x^2=t-1;dt=2xdx;dx=\frac{dt}{2x}$

Answer 2

Для решения каждого интеграла, заменим переменные согласно указанным подстановкам и проинтегрируем выражение.

1. ∫ dx / (3x - 4), t = 3x - 4 Замена: t = 3x - 4 => dt = 3dx => dx = dt/3 Интеграл становится: ∫ dt / (3 * t) = (1/3) * ∫ dt / t = (1/3) * ln|t| + C = (1/3) * ln|3x - 4| + C

2. ∫ dx / √(a^2 - x^2), t = ax Замена: t = ax => dt = a dx => dx = dt/a Интеграл становится: ∫ dt / √(a^2 - t^2) Для интегрирования ∫ dt / √(a^2 - t^2) используется замена t = a sin(u), dt = a cos(u) du: ∫ (a cos(u) du) / √(a^2 - (a sin(u))^2) = ∫ (a cos(u) du) / √(a^2 - a^2 sin^2(u)) = ∫ (a cos(u) du) / √(a^2(1 - sin^2(u))) = ∫ (a cos(u) du) / √(a^2 cos^2(u)) = ∫ du = u + C = arcsin(t/a) + C

3. ∫ 4dx / sin^2(2x), t = 2x Замена: t = 2x => dt = 2dx => dx = dt/2 Интеграл становится: ∫ 4 * (dt/2) / sin^2(t) = 2 * ∫ dt / sin^2(t) Используем тождество: 1 + tan^2(t) = sec^2(t) => tan^2(t) = sec^2(t) - 1 Интеграл принимает вид: 2 * ∫ dt / (1 + tan^2(t)) = 2 * ∫ dt / sec^2(t) = 2 * ∫ cos^2(t) dt Теперь используем формулу: ∫ cos^2(t) dt = (1/2) * (t + sin(t)cos(t)) + C = (1/2) * (2x + sin(2x)/2) + C = x + (1/4) * sin(2x) + C

4. ∫ sin^3(x) * cos(x) dx, t = sin(x) Замена: t = sin(x) => dt = cos(x) dx Интеграл становится: ∫ t^3 dt = (1/4) * t^4 + C = (1/4) * sin^4(x) + C

5. ∫ sin^3(x) dx, t = cos(x) Замена: t = cos(x) => dt = -sin(x) dx Интеграл становится: -∫ t^3 dt = -(1/4) * t^4 + C = -(1/4) * cos^4(x) + C

6. ∫ tan(x) dx, t = cos(x) Замена: t = cos(x) => dt = -sin(x) dx Интеграл становится: -∫ dt / t = -ln|t| + C = -ln|cos(x)| + C

7. ∫ x dx / √(1 - x^2), t = 1 - x^2 или x = sin(t) Замена: t = 1 - x^2 => dt = -2x dx => x dx = -dt / 2 Интеграл становится: -∫ dt / (2 * √t) = -(1/2) * ∫ dt / √t = -(1/2) * ∫ t^(-1/2) dt = -(1/2) * 2 * t^(1/2) + C = -√t + C = -√(1 - x^2) + C

8. ∫ x dx / √(1 + x^2), t = 1 + x^2 Замена: t = 1 + x^2 => dt = 2x dx => x dx = dt / (2x) = dt / (2√t) Интеграл становится: ∫ dt / (2√t) = (1/2) * ∫ t^(-1/2) dt = (1/2) * 2 * t^(1/2) + C = √t + C = √(1 + x^2) + C

9. ∫ x^3 dx / √(1 + x^2), t = 1 + x^2 Замена: t = 1 + x^2 => dt = 2x dx => x dx = dt / 2 Интеграл становится: ∫ (dt / 2) * (t - 1) / √t = (1/2) * ∫ (t - 1) / √t dt Разложим на два отдельных интеграла: (1/2) * ∫ t / √t dt - (1/2) * ∫ 1 / √t dt Первый интеграл: (1/2) * ∫ √t dt = (1/2) * (2/3) * t^(3/2) + C1 = t^(3/2) / 3 + C1 Второй интеграл: -(1/2) * ∫ t^(-1/2) dt = -(1/2) * 2 * t^(1/2) + C2 = -√t + C2 Объединяем результаты: ∫ x^3 dx / √(1 + x^2) = t^(3/2) / 3 - √t / 2 + C = (1 + x^2)^(3/2) / 3 - √(1 + x^2) / 2 + C

Где C, C1, C2 - произвольные постоянные интегрирования.