Question

Это интеграл {xdx/(x^2+1)^2= Смотреть ответ QDominus QDominus

Answer 1

Для решения данного интеграла, давайте воспользуемся методом частей. Интегрирование по частям представляет собой формулу:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

Для данного интеграла, выберем:

u = x, dv = dx/(x^2 + 1)^2.

Тогда, возьмем производные:

du = dx, v = ∫dv = ∫dx/(x^2 + 1)^2.

Теперь найдем значение ∫dx/(x^2 + 1)^2. Для этого воспользуемся заменой:

Пусть t = x^2 + 1. Тогда dt = 2x dx, а dx = dt/(2x).

Подставим в ∫dx/(x^2 + 1)^2:

∫dx/(x^2 + 1)^2 = ∫(dt/(2x))/(t^2) = (1/2)∫dt/t^2 = (1/2)*(-1/t) + C = -1/(2t) + C,

где C - это произвольная постоянная интегрирования.

Теперь вернемся к нашей формуле для интегрирования по частям:

∫xdx/(x^2 + 1)^2 = uv - ∫v du = x*(-1/(2t)) + ∫(1/(2t))*dx

Подставим t = x^2 + 1:

= -x/(2(x^2 + 1)) + (1/2)∫dx/(x^2 + 1).

Оставшуюся интегральную часть ∫dx/(x^2 + 1) мы можем решить с помощью замены t = x:

dt = dx, dx = dt.

Тогда получим:

(1/2)∫dx/(x^2 + 1) = (1/2)∫dt/t = (1/2)ln|t| + C = (1/2)ln|x^2 + 1| + C.

Таким образом, окончательное решение интеграла:

∫xdx/(x^2 + 1)^2 = -x/(2(x^2 + 1)) + (1/2)ln|x^2 + 1| + C.