Question

Интеграл xdx/sqrt(2+3x-2x^2) Интеграл ((x-4)dx)/(5x^2-x+7) Найти неопределённы интеграл. Срочно!!! Даю 10 баллов

Answer 1

................................................................................................................................................

Answer 2

Спасибо за предложение 10 баллов! Я готов помочь с решением данных интегралов.

1. Найдем интеграл ∫(x dx) / √(2 + 3x - 2x^2):

Для начала, давайте представим знаменатель как квадратный трехчлен, который мы можем разложить на множители:

2 + 3x - 2x^2 = -(2x^2 - 3x - 2) = -(2x + 1)(x - 2).

Теперь разделим числитель и знаменатель на -1:

∫(x dx) / √(2 + 3x - 2x^2) = -∫(x dx) / √(-(2x + 1)(x - 2)).

Далее, проведем разложение на простейшие дроби для дроби под корнем:

A / √(2x + 1) + B / √(x - 2),

где A и B - неизвестные коэффициенты.

Сделаем общий знаменатель для дробей и сложим их:

A√(x - 2) + B√(2x + 1) / √(-(2x + 1)(x - 2)).

Теперь умножим обе части уравнения на √(-(2x + 1)(x - 2)):

A√(x - 2) + B√(2x + 1) = x.

Теперь найдем значения коэффициентов A и B, подставив различные значения x:

1. Пусть x = 2: A√(2 - 2) + B√(2*2 + 1) = 0 + B√5 = 2.

2. Пусть x = -1/2: A√(-1/2 - 2) + B√(2*(-1/2) + 1) = A√(-9/2) + 0 = A * некое число = -1/2.

Теперь найдем значения A и B:

B√5 = 2 => B = 2 / √5,

A * некое число = -1/2 => A = (-1/2) / √(-9/2) = -1 / (√9 * √2) = -1/3.

Таким образом, разложение на простейшие дроби будет:

-∫(x dx) / √(2 + 3x - 2x^2) = (-1/3) / √(2x + 1) + (2/√5) / √(x - 2).

2. Теперь найдем интеграл ∫((x - 4)dx) / (5x^2 - x + 7):

Для этого воспользуемся методом частных производных. Разложим знаменатель на множители:

5x^2 - x + 7 = (5x - 7)(x + 1).

Теперь разделим числитель на знаменатель:

∫((x - 4)dx) / (5x^2 - x + 7) = ∫((x - 4)dx) / ((5x - 7)(x + 1)).

Теперь воспользуемся методом частных производных для нахождения интеграла:

Пусть u = x - 4, v = (5x - 7)(x + 1).

Тогда, du = dx, и применим метод частных производных:

∫(u dv) = uv - ∫(v du).

Подставим значения u и v:

∫((x - 4)dx) / ((5x - 7)(x + 1)) = (x - 4) * (1/5) * ln|5x - 7| - ∫((1/5) * ln|5x - 7| dx).

Окончательно:

∫((x - 4)dx) / (5x^2 - x + 7) = (x - 4) * (1/5) * ln|5x - 7| - (1/5) * ∫ln|5x - 7| dx.

Пожалуйста, проверьте полученные ответы и уточните, если требуется что-то еще. Если всё верно, буду рад помочь с чем-либо еще!