Question

1) integral от 0 до п/4 (arctg^2(x)/1+x^2)dx 2)integral от 0 до sqrt(2)  (x^3/sqrt(9-x^4))dx 3)integral от e до e^2  dx/x*sqrt(4-ln^2(x)) 4)integral от sqrt(3) до + бесконечности  xdx/x^4+9 5)integral от 1 до (2 x+5/x^2-2x-3)dx 6)integral dx/sqrt(x)-sqrt(4,x)

Answer 1

1) Для первого интеграла: ∫(0 to π/4) (arctan²(x)/(1+x²)) dx

Заменим переменную: u = arctan(x), тогда du = (1/(1+x²)) dx При x = 0, u = 0 При x = π/4, u = arctan(π/4) = π/4

Интеграл преобразуется в: ∫(0 to π/4) (u²) du

Производим интегрирование: ∫(0 to π/4) (u²) du = [u³/3] (0 to π/4) = (π³/3)/4 - 0 = π³/12

Ответ: π³/12

2) Для второго интеграла: ∫(0 to sqrt(2)) (x³/sqrt(9-x⁴)) dx

Проведем замену: u = x², тогда du = 2x dx Когда x = 0, u = 0, а когда x = sqrt(2), u = 2

Интеграл становится: ∫(0 to 2) (1/2) (u/sqrt(9-u²)) du

Можно сделать дополнительную замену: v = 3u², тогда dv = 6u du Когда u = 0, v = 0, а когда u = 2, v = 12

Интеграл принимает вид: ∫(0 to 12) (1/6) ((v/3) / (sqrt(9 - (v/3)²))) (1/6) dv

Выносим константу за знак интеграла: (1/36) * ∫(0 to 12) (v / sqrt(9 - (v/3)²)) dv

Проведем замену: w = (v/3), тогда dv = 3dw Когда v = 0, w = 0, а когда v = 12, w = 4

Интеграл преобразуется в: (1/36) * ∫(0 to 4) (w / sqrt(9 - w²)) (3dw)

(1/12) * ∫(0 to 4) (w / sqrt(9 - w²)) dw

Можем провести еще одну замену: t = 9 - w², тогда dt = -2w dw Когда w = 0, t = 9, а когда w = 4, t = -7

Интеграл становится: -(1/12) * ∫(9 to -7) (1/2) (dt / sqrt(t)) = -(1/12) * [(2√t)] (9 to -7) = -(1/6) * (√(-7) - 3√9)

Ответ: -(√(-7) - 3√9) / 6

3) Для третьего интеграла: ∫(e to e²) dx / (x * sqrt(4 - ln²(x)))

Произведем замену: u = ln(x), тогда du = (1/x) dx Когда x = e, u = ln(e) = 1, а когда x = e², u = ln(e²) = 2

Интеграл принимает вид: ∫(1 to 2) (1/u) du / sqrt(4 - u²)

∫(1 to 2) (1/u) du / √(2² - u²)

Заметим, что это интеграл от функции arcsin:

= arcsin(u/2) (1 to 2) = arcsin(2/2) - arcsin(1/2) = π/6 - π/12 = π/12

Ответ: π/12

4) Для четвертого интеграла: ∫(sqrt(3) to ∞) x dx / (x⁴ + 9)

Для начала найдем значение интеграла от 1/x²:

∫(sqrt(3) to ∞) dx / x²

= [-1/x] (sqrt(3) to ∞) = 0 - (-1/sqrt(3)) = 1/√3

Обозначим этот интеграл как I.

Тогда исходный интеграл можно представить в виде:

∫(sqrt(3) to ∞) (x / (x⁴ + 9)) dx = ∫(sqrt(3) to ∞) (1 / (x³ + 9/x)) dx = ∫(sqrt(3) to ∞) (1 / (x³ + 9/(√3 x))) dx = ∫(sqrt(3) to ∞) (1 / (x³(1 + 9/√3))) dx = (1/(1 + 9/√3)) ∫(sqrt(3) to ∞) (1 / x³) dx

= (1/(1 + 3√3)) * [(1/2) x^(-2)] (sqrt(3) to ∞) = (1/(1 + 3√3)) * (1/2) * [1/(sqrt(3))^2 - 1/(∞)^2] = (1/(1 + 3√3)) * (1/2) * (1/3 - 0) = 1/(6(1 + 3√3))

Ответ: 1/(6(1 + 3√3))

5) Для пятого интеграла: ∫(1 to 2) (2 + x + 5/x² - 2x - 3) dx

Вначале проведем упрощение: ∫(1 to 2) (3 - x + 5/x²) dx

Теперь произведем интегрирование: [3x - (x²/2) - (5/x)] (1 to 2) = [3(2) - (2²/2) - (5/2)] - [3(1) - (1²/2) - (5/1)] = 6 - 2 - (5/2) - 3 + (1/2) - 5 = 2 - (5/2) - 2 = -(5/2)

Ответ: -(5/2)

6) Для шестого интеграла: ∫ dx / (sqrt(x) - sqrt(4 - x))

Приведем знаменатель к общему знаменателю:

= ∫ dx / ((sqrt(x) - sqrt(4 - x)) * (sqrt(x) + sqrt(4 - x)))

Применим формулу разности квадратов: (a - b)(a + b) = a² - b²

= ∫ dx / (x - (4 - x)) = ∫ dx / (2x - 4) = (1/2) ∫ dx / (x - 2)

Выполним замену: u = x - 2, du = dx

= (1/2) ∫ du / u = (1/2) ln|u| + C = (1/2) ln|x - 2| + C

Ответ: (1/2) ln|x - 2| + C