Question

Неопределенный интеграл dx/sqrt4+2x-x^2

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для вычисления неопределенного интеграла $\int \frac{dx}{\sqrt{4+2x-x^2}}$, можно применить метод частных дробей. Начнем с того, чтобы разложить знаменатель на множители:

$4 + 2x - x^2 = -(x^2 - 2x - 4) = -[(x-1)^2 - 5] = -[(x-1+\sqrt{5})(x-1-\sqrt{5})]$

Теперь выражение в знаменателе можно переписать в виде:

$\frac{1}{\sqrt{4 + 2x - x^2}} = \frac{1}{\sqrt{-[(x-1+\sqrt{5})(x-1-\sqrt{5})]}}$

Теперь разложим на простейшие дроби. Заметим, что знаменатель содержит два различных корня $x = 1 + \sqrt{5}$ и $x = 1 - \sqrt{5}$.

Общий вид разложения на простейшие дроби смесь отношений линейных и константных множителей:

$\frac{1}{\sqrt{-[(x-1+\sqrt{5})(x-1-\sqrt{5})]}} = \frac{A}{\sqrt{(x-1+\sqrt{5})}} + \frac{B}{\sqrt{(x-1-\sqrt{5})}}$

где $A$ и $B$ — некоторые константы, которые нужно найти.

Теперь, чтобы найти $A$ и $B$, нужно привести общее уравнение к общему знаменателю и приравнять коэффициенты при соответствующих степенях $x$.

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{(x-1+\sqrt{5})}\sqrt{(x-1-\sqrt{5})}$ для избавления от знаменателей в дробях:

$1 = A\sqrt{(x-1-\sqrt{5})} + B\sqrt{(x-1+\sqrt{5})}$

Теперь приравняем коэффициенты при соответствующих степенях $x$:

$0x^2: 0 = A + B$

$1x^1: 0 = -A\sqrt{5} + B\sqrt{5} \implies B = A$