Question

Неопределенный интеграл: cosx dx; x/x^2+4 dx определенный интеграл: интеграл сверху 2 снизу 1 dx/1+x^2; интеграл сверху корень из 3 снизу 0 (arcctgx)dx.

Answer 1

Ответ:

решениеина фотографии

Answer 2

Давайте начнем с неопределенных интегралов:

1. ∫cos(x) dx: Неопределенный интеграл от cos(x) равен sin(x) + C, где C - произвольная константа. Таким образом: ∫cos(x) dx = sin(x) + C

2. ∫x / (x^2 + 4) dx: Чтобы решить этот интеграл, вы можете сделать замену переменной. Положим u = x^2 + 4, тогда du = 2x dx. Теперь мы можем записать интеграл следующим образом: (1/2) ∫(1/u) du

Теперь мы можем проинтегрировать по переменной u: (1/2) ln|u| + C

Теперь вернемся к переменной x, используя нашу замену: (1/2) ln|x^2 + 4| + C

Таким образом, интеграл ∫x / (x^2 + 4) dx равен (1/2) ln|x^2 + 4| + C.

Теперь перейдем к определенным интегралам:

1. ∫(dx / (1 + x^2)) от 1 до 2: Это определенный интеграл функции 1 / (1 + x^2) от x = 1 до x = 2. Его значение можно вычислить следующим образом: ∫(dx / (1 + x^2)) от 1 до 2 = [arctan(x)] от 1 до 2

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования: [arctan(2) - arctan(1)]

Вычислите значения арктангенсов и выразите разницу.

2. ∫(arctan(x) dx) от 0 до √3: Это определенный интеграл функции arctan(x) от x = 0 до x = √3. Его значение можно вычислить следующим образом: ∫(arctan(x) dx) от 0 до √3 = [x * arctan(x) - (1/2) * ln(1 + x^2)] от 0 до √3

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования и вычислим значения: [(√3 * arctan(√3) - (1/2) * ln(1 + (√3)^2)) - (0 * arctan(0) - (1/2) * ln(1 + 0^2))]

Вычислите арктангенс и натуральный логарифм, и выразите разницу.

Это и есть значения данных определенных интегралов.