Question

Найти придел llimx⇒∞(x-sqrt{x^{2}-x+1}

Answer 1

Fdfgh ffzzzgfg dddf h fdfgh vvf

Answer 2

Для нахождения предела этой функции при $x \rightarrow \infty$, нужно проанализировать её поведение на бесконечности. Для этого разделим числитель и знаменатель на $x$:

$f(x) = x - \sqrt{x^2 - x + 1}$

Когда $x$ стремится к бесконечности, мы имеем деление на бесконечность, что называется неопределенностью вида $\infty - \infty$. Для разрешения такой неопределенности можно использовать алгебраические преобразования или правило Лопиталя.

Применим правило Лопиталя, для чего найдём предел производной функции $f(x)$ в числителе и знаменателе по $x$, когда $x$ стремится к бесконечности:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x - \sqrt{x^2 - x + 1}}{1}$

Теперь найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 1 - \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - x + 1}} \cdot (2x - 1)$

Теперь возьмём предел производной исходной функции и заменим $x$ на $\infty$:

$\lim_{x \to \infty} f'(x) = \lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - x + 1}} \cdot (2x - 1)\right)$ $= 1 - \frac{1}{2 \cdot \infty} \cdot (\infty - 1)$ $= 1 - 0 = 1$

Теперь у нас есть предел производной функции $f(x)$ при $x \rightarrow \infty$, который равен 1. По правилу Лопиталя, предел исходной функции будет равен пределу производной:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x - \sqrt{x^2 - x + 1}}{1} = 1$

Итак, предел данной функции при $x \rightarrow \infty$ равен 1.