Question

Найти решение дифференциального уравнения. y”-3y’=-9x^2+18x-4

Answer 1

Рассмотрите предложенное решение.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, давайте следуем стандартному методу решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение. Пусть характеристическое уравнение имеет вид: r^2 - 3r = 0

Шаг 2: Найдем корни характеристического уравнения. r(r - 3) = 0 r1 = 0, r2 = 3

Шаг 3: Найдем общее решение для однородного уравнения. y_h(x) = C1 * e^(0 * x) + C2 * e^(3 * x) y_h(x) = C1 + C2 * e^(3 * x)

Шаг 4: Найдем частное решение для неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения имеет вид -9x^2 + 18x - 4, предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = Ax^2 + Bx + C, где A, B и C - неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

y_p''(x) - 3y_p'(x) = -9x^2 + 18x - 4

Подставим y_p(x) в уравнение: 2A - 3(2Ax + B) = -9x^2 + 18x - 4

2A - 6Ax - 3B = -9x^2 + 18x - 4

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x: -6A = -9 => A = 3/2 -3B = 18 => B = -6

Теперь найдем C: y_p(0) = 0 + 0 + C = C = -4

Таким образом, частное решение: y_p(x) = (3/2)x^2 - 6x - 4

Шаг 5: Найдем общее решение неоднородного уравнения. y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = C1 + C2 * e^(3 * x) + (3/2)x^2 - 6x - 4

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения: y(x) = C1 + C2 * e^(3 * x) + (3/2)x^2 - 6x - 4

где C1 и C2 - произвольные постоянные.