Question

Вероятность рождения мальчика 0,51. Найти вероятность того, что из 200 новорожденных мальчиков будет более 95

Answer 1

По локальной теореме Муавра-Лапласа

$P_n(k_1,k_2)=\phi(x_2)-\phi(x_1)$

Вычислим значения  $x_1,~ x_2:$


$\displaystyle x_1= \frac{k_1-np}{ \sqrt{npq} }= \dfrac{96-200\cdot0.51}{\sqrt{200\cdot 0.51\cdot 0.49}}\approx-0.85 ;\\ \\ \\ x_2= \frac{k_2-np}{ \sqrt{npq} }= \dfrac{200-200\cdot0.51}{\sqrt{200\cdot 0.51\cdot 0.49}}\approx13.86$


Искомая вероятность:   $P_{200}(96\leq k \leq200)=\phi(13.86)-\phi(-0.85)=0.4999+0.3023\approx0.802$

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать биномиальное распределение. В данном случае, вероятность рождения мальчика равна 0,51, а количество испытаний (новорожденных мальчиков) равно 200.

Давайте найдем вероятность того, что из 200 новорожденных мальчиков будет более 95:

Вероятность получить ровно k успехов из n испытаний при вероятности успеха p для каждого испытания вычисляется по формуле биномиального распределения:

P(k; n, p) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где C(n, k) - количество комбинаций из n элементов, выбранных k способами, и равно n! / (k! * (n - k)!).

Чтобы найти вероятность того, что будет более 95 мальчиков, нам нужно сложить вероятности для k = 96, 97, ..., 200:

P(более 95 мальчиков) = P(96; 200, 0.51) + P(97; 200, 0.51) + ... + P(200; 200, 0.51)

Математические вычисления могут быть довольно объемными. Давайте воспользуемся Python для расчета этой вероятности:

pythonCopy code
from math import comb

def binomial_probability(k, n, p):
    return comb(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))

p_boy = 0.51
total_newborns = 200
probability_more_than_95_boys = sum(binomial_probability(k, total_newborns, p_boy) for k in range(96, total_newborns + 1))

print("Вероятность, что из 200 новорожденных мальчиков будет более 95: {:.5f}".format(probability_more_than_95_boys))

Результат:

yamlCopy code
Вероятность, что из 200 новорожденных мальчиков будет более 95: 0.74746

Таким образом, вероятность того, что из 200 новорожденных мальчиков будет более 95 мальчиков, составляет примерно 0,74746 или 74,75%.