Question

Вычислите определенный интеграл ^2^0 x(8-x)dx

Answer 1

Решение во вложении:

Answer 2

Для вычисления определенного интеграла от функции x(8-x) на интервале от 0 до 2, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Вычислить неопределенный интеграл функции x(8-x).
2. Вычислить разность этого неопределенного интеграла на интервале [2, 0], что даст значение определенного интеграла.

Шаг 1: Для вычисления неопределенного интеграла x(8-x)dx, проведем интегрирование по переменной x:

∫(x(8-x))dx

Раскроем скобки:

∫(8x - x^2)dx

Интегрируем каждый член:

∫(8x)dx - ∫(x^2)dx

Теперь найдем первообразные каждого члена:

1. ∫(8x)dx = 4x^2 + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.
2. ∫(x^2)dx = (1/3)x^3 + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 2: Теперь, чтобы вычислить определенный интеграл от 0 до 2, подставим пределы интегрирования и вычислим разность:

∫[0, 2] (x(8-x))dx = (4 * 2^2 + C1) - (1/3 * 2^3 + C2)

Вычислим значения:

= (4 * 4 + C1) - (1/3 * 8 + C2) = (16 + C1) - (8/3 + C2)

Поскольку это определенный интеграл, произвольные постоянные сокращаются:

= 16 - 8/3 = 16 - 2.666... = 13.333...

Таким образом, определенный интеграл от функции x(8-x) на интервале [0, 2] равен приблизительно 13.333.