Question

Найти неопределённый интеграл: (x^2+ln(x^2))/(x)

Answer 1

$\int\frac{x^2+lnx^2}{x}dx=\int(x+\frac{lnx^2}{x})dx=\frac{x^2}{2}+ln|x|lnx^2-2\int\frac{ln|x|}{x}dx=\\=\frac{x^2}{2}+ln|x|lnx^2-ln^2|x|+C\\u=lnx^2;du=\frac{2}{x}\\dv=\frac{dx}{x};v=ln|x|$

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла $\int \frac{x^2 + \ln(x^2)}{x} dx$, мы можем разбить интеграл на два слагаемых и интегрировать их по отдельности.

1. $\int \frac{x^2}{x} dx$: Здесь мы можем упростить подынтегральное выражение, выделив $x$ из числителя: $\int \frac{x^2}{x} dx = \int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$, где $C_1$ — произвольная постоянная интегрирования.

2. $\int \frac{\ln(x^2)}{x} dx$: Здесь можно воспользоваться заменой переменных. Пусть $u = \ln(x^2)$, тогда $du = \frac{2}{x} dx$. Заменяем в интеграле: $\int \frac{\ln(x^2)}{x} dx = \int \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} u + C_2$, где $C_2$ — еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Теперь объединим результаты двух интегрирований: $\int \frac{x^2 + \ln(x^2)}{x} dx = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln(x^2) + C$, где $C = C_1 + C_2$ — общая постоянная интегрирования.