Question

Решить уравнение, допускающее понижение порядка y'''=x+cos(x)

Answer 1

Рассмотрите предложенное решение. Оформление не соблюдалось.

Answer 2

Для решения данного уравнения с понижением порядка, сначала рассмотрим его вторую производную, а затем продолжим интегрировать для получения исходной функции.

1. Найдем вторую производную относительно y: y''' = x + cos(x)

Дифференцируем обе части уравнения по x, чтобы найти y'': y'' = ∫(x + cos(x)) dx y'' = (1/2)x^2 + sin(x) + C1

2. Теперь найдем первую производную относительно y: y'' = (1/2)x^2 + sin(x) + C1

Дифференцируем обе части уравнения по x, чтобы найти y': y' = ∫((1/2)x^2 + sin(x) + C1) dx y' = (1/6)x^3 - cos(x) + C1x + C2

3. И, наконец, найдем исходную функцию y: y' = (1/6)x^3 - cos(x) + C1x + C2

Дифференцируем обе части уравнения по x, чтобы найти y: y = ∫((1/6)x^3 - cos(x) + C1x + C2) dx y = (1/24)x^4 - sin(x) + (C1/2)x^2 + C2x + C3

где C1, C2, и C3 - это произвольные постоянные интегрирования.

Итак, решение уравнения с понижением порядка будет иметь вид: y = (1/24)x^4 - sin(x) + (C1/2)x^2 + C2x + C3