Question

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающее понижение порядка (1+y)y''-5(y')^2=0

Answer 1

Ответ:

$( 1 + y)y'' - 5(y') ^{2} = 0 \\ \\ y' = z(y) \\ y''= z'(y) \times y' = z'z \\ \\ (1 + y) \times zz' - 5 {z}^{2} = 0 \\ (1 + y)z'- 5z = 0 \\ (1 + y) \times \frac{dz}{dy} = 5z \\ \int\limits \frac{dz}{z} = 5\int\limits \frac{dy}{y + 1} \\ ln(z) = 5 ln(y + 1) + ln(C_1) \\ z = C_1 {(y + 1)}^{5} \\ \\ y'= C_1(y + 1) {}^{5} \\ \frac{dy}{dx} = \int\limits \: C_1(y + 1) {}^{5} \\ \int\limits \frac{dy}{(y + 1) {}^{5} } = C_1\int\limits \: dx \\ \frac{ {(y + 1)}^{ - 4} }{ - 4} = C_1x + C_2 \\ - \frac{1}{4(y + 1) {}^{4} } = C_1x + C_2 \\ \frac{1}{ {(y + 1)}^{4} } = - 4C_1x -4 C_2 \\ \frac{1}{(y + 1) {}^{4} } = - C_1x - C_2$

общее решение

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка:

(1 + y)y'' - 5(y')^2 = 0

Допускает понижение порядка. Давайте введем замену:

p = y'

Тогда y'' = dp/dx, где x - независимая переменная.

Теперь мы можем переписать уравнение в новых переменных:

(1 + y)dp/dx - 5p^2 = 0

Теперь мы можем решить это дифференциальное уравнение первого порядка для p. Разделим обе стороны на (1 + y):

dp/dx - 5p^2 / (1 + y) = 0

Теперь это уравнение можно решить с помощью метода разделяющих переменных. Переносим все члены с p на одну сторону и все члены с y на другую:

dp/dx = 5p^2 / (1 + y)

Теперь разделим переменные:

(1 + y) dy = 5p^2 dx

Интегрируем обе стороны:

∫(1 + y) dy = ∫5p^2 dx

y + (1/2)y^2 = 5∫p^2 dx + C

Здесь C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь, если вы хотите найти общее решение уравнения, вы можете включить обратную замену, которую вы ввели ранее:

p = y'

y + (1/2)y^2 = 5∫(y')^2 dx + C

Это уравнение допускает различные виды решений, в зависимости от начальных условий и конкретного вида функции p(y').