Question

Найти общее решение дифференциального уравнения высшего порядка, допускающее понижение порядка. y''' = 4 e^3x + 5x + 3

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения высшего порядка, сначала найдем общее решение однородного уравнения, а затем найдем частное решение неоднородного уравнения.

Однородное уравнение получается из исходного уравнения путем замены всех свободных членов нулем: y''' = 0

Общее решение однородного уравнения можно представить в виде: y_h(x) = c1 + c2x + c3x^2

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Заметим, что правая часть уравнения содержит сумму трех слагаемых. Мы можем найти частное решение для каждого из них и сложить их, чтобы получить общее частное решение.

1. Частное решение для слагаемого 4e^(3x): Поскольку e^(3x) является частным решением однородного уравнения y_h(x), для нахождения частного решения будем искать частное решение в виде: y_p1(x) = A*e^(3x), где A - неизвестная константа.

Подставим y_p1(x) в исходное уравнение: (3e^(3x))' = 4e^(3x)

Получаем: 9e^(3x) = 4e^(3x)

Сравнивая коэффициенты при e^(3x) получаем: 9 = 4

Это противоречие означает, что наше предположение о виде частного решения неверно. Вместо этого нужно взять: y_p1(x) = Axe^(3x), где A - неизвестная константа.

2. Частное решение для слагаемого 5x: Поскольку x^1 является частным решением однородного уравнения y_h(x), для нахождения частного решения будем искать частное решение в виде: y_p2(x) = B*x, где B - неизвестная константа.

Подставим y_p2(x) в исходное уравнение: 0 = 5x

Сравнивая коэффициенты при x, получаем: 0 = 5

Опять получаем противоречие, поэтому наше предположение о виде частного решения неверно. Вместо этого нужно взять: y_p2(x) = Bx^2 + Cx + D, где B, C и D - неизвестные константы.

3. Частное решение для слагаемого 3: Поскольку 1 является частным решением однородного уравнения y_h(x), для нахождения частного решения будем искать частное решение в виде: y_p3(x) = E, где E - неизвестная константа.

Подставим y_p3(x) в исходное уравнение: 0 = 3

Так как 0 ≠ 3, то это противоречие. Значит, константа E не нужна.

Теперь сложим все полученные частные решения, чтобы получить общее частное решение: y_p(x) = y_p1(x) + y_p2(x) + y_p3(x) = Axe^(3x) + Bx^2 + Cx + D

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения будет: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1 + c2x + c3x^2 + Axe^(3x) + Bx^2 + Cx + D

где c1, c2, c3, A, B, C и D - произвольные постоянные.