Question

Помогите найти производную: f(x)= 6x/√x^2+1; f(√3)

Answer 1

$f(x)=\frac{6x}{\sqrt{x^2+1}}\\\\f'(x)=\frac{6\cdot \sqrt{x^2+1}-6x\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{6\cdot (x^2+1)-6x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\frac{6}{\sqrt{(x^2+1)^3}} \\\\f'(\sqrt3)= \frac{6}{\sqrt{4^3}}=\frac{6}{2^3}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=0,75$

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = (6x)/√(x^2+1) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

1. Найдем производную f'(x): Используем правило дифференцирования сложной функции (chain rule). Пусть u(x) = 6x, v(x) = √(x^2 + 1), тогда функция f(x) = u(x) / v(x).

f'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2

где u'(x) - производная функции u(x), v'(x) - производная функции v(x).

Найдем производные u'(x) и v'(x):

u'(x) = d(6x)/dx = 6

v'(x) = d(√(x^2 + 1))/dx = (1/2) * (x^2 + 1)^(-1/2) * d(x^2 + 1)/dx = (1/2) * (x^2 + 1)^(-1/2) * 2x = x / √(x^2 + 1)

Теперь найдем f'(x):

f'(x) = (6 * √(x^2 + 1) - x * 6x / √(x^2 + 1)) / (x^2 + 1)

f'(x) = (6 * √(x^2 + 1) - 6x^2) / (x^2 + 1)^(3/2)

2. Найдем значение производной в точке x = √3:

f'(√3) = (6 * √(√3^2 + 1) - 6 * (√3)^2) / ((√3)^2 + 1)^(3/2)

Вычислим:

√(√3^2 + 1) = √(3 + 1) = √4 = 2

(√3)^2 = 3

(√3)^2 + 1 = 3 + 1 = 4

((√3)^2 + 1)^(3/2) = 4^(3/2) = √(4^3) = √64 = 8

f'(√3) = (6 * 2 - 6 * 3) / 8 = (12 - 18) / 8 = -6 / 8 = -3/4

Таким образом, производная функции f(x) в точке x = √3 равна -3/4.