Question

Интересные свойства числа (*) часто применяются в арифметике как для теоретических изысканий и практических действий, так и для составления различных занимательных задач или так называемых «головоломок». Распространено также практическое применение этого числа (*) для проверки умножения и деления. Основано оно на том свойстве всякого числа, что остаток, получаемый от деления любого числа на (*), всегда равен остатку от деления на (*) суммы цифр исходного числа. Еще нетрудно убедиться, что если мы напишем произвольное двузначное число, а затем напишем цифры этого же числа в обратном порядке и возьмем разность полученных чисел, то эта разность всегда разделится на (*). Найдите число, которое необходимо поставить вместо (*) если оно получается в результате преобразования выражения: . Ответ запишите без пробелов и каких-либо знаков препинания. Например, 15

Answer 1

Это число будет  девять

Answer 2

Давайте разберемся в данной задаче. Предположим, что мы ищем число (*), которое удовлетворяет условию остатка от деления суммы цифр исходного числа.

Пусть дано двузначное число, представленное как AB, где A - число десятков, B - число единиц. Тогда это число можно записать как 10A + B.

Теперь рассмотрим число, записанное в обратном порядке: BA. Аналогично, это число можно записать как 10B + A.

Теперь найдем разность между исходным числом и числом, записанным в обратном порядке:

(10A + B) - (10B + A) = 10A + B - 10B - A = 9A - 9B = 9(A - B).

Теперь мы знаем, что разность (10A + B) - (10B + A) делится на 9.

Из условия задачи мы также знаем, что это число () должно делить эту разность. Значит, () должно делить 9.

Теперь рассмотрим возможные значения для (). Так как () делит 9, возможные значения для (*) это делители числа 9. То есть:

(*) = 1, 3, или 9.

Проверим каждое из этих значений.

Если (*) = 1:

Число (10A + B) - (10B + A) делится на 1.

Тогда (10A + B) - (10B + A) = 0, что не всегда верно.

Если (*) = 3:

Число (10A + B) - (10B + A) делится на 3.

Тогда 9(A - B) делится на 3. Это верно для всех значений A и B, потому что разность A - B может быть -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6 или 8, и в каждом из этих случаев 9(A - B) делится на 3.

Таким образом, (*) = 3.

Ответ: 3.