Question

Помогите, пожалуйста~ Найдите производную сложной функции:f(x)=(x^2+2x-1)^4; x=-1

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Конечно, помогу! Чтобы найти производную сложной функции, вам потребуется применить правило цепочки (chain rule) для функции вида (u(v(x)))'. Формула правила цепочки выглядит следующим образом:

(u(v(x)))' = u'(v(x)) * v'(x)

Для данной функции f(x) = (x^2 + 2x - 1)^4 вам нужно сначала идентифицировать внутреннюю и внешнюю функции. В данном случае, внутренняя функция - это (x^2 + 2x - 1), а внешняя функция - это возведение в степень 4.

Начнем с нахождения производной внутренней функции:

u(x) = x^2 + 2x - 1

Тогда:

u'(x) = d/dx (x^2 + 2x - 1) = 2x + 2

Теперь найдем производную внешней функции:

v(x) = u(x)^4 = (x^2 + 2x - 1)^4

Для этого вам потребуется применить правило степенной функции:

v'(x) = d/dx (u(x)^4) = 4 * u(x)^3 * u'(x) = 4 * (x^2 + 2x - 1)^3 * (2x + 2)

Теперь, чтобы получить производную исходной функции, примените правило цепочки:

f'(x) = u'(v(x)) * v'(x) = (2x + 2) * 4 * (x^2 + 2x - 1)^3 * (2x + 2)

Теперь вы можете найти значение производной в точке x = -1:

f'(-1) = (2*(-1) + 2) * 4 * ((-1)^2 + 2*(-1) - 1)^3 * (2*(-1) + 2)

f'(-1) = (0) * 4 * (0)^3 * (0)

f'(-1) = 0

Таким образом, производная функции f(x) = (x^2 + 2x - 1)^4 в точке x = -1 равна 0.