Question

С помощью производной найдите точки экстремума функции F(x)= x^3-7x^2+11x-21 и напишите уравнение касательной к графику функции в точке x=1

Answer 1

Дана функция F(x)= x^3-7x^2+11x-21.
1)Производная y' = 3х² - 14х + 11.
Приравняем её нулю:
3х² - 14х + 11 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-14)^2-4*3*11=196-4*3*11=196-12*11=196-132=64;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=√64-(-14))/(2*3)=(8-(-14))/(2*3)=(8+14)/(2*3)=22/(2*3)=22/6=11/3≈ 3.66667;x_2=(-√64-(-14))/(2*3)=(-8-(-14))/(2*3)=(-8+14)/(2*3)=6/(2*3)=6/6=1.
Найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена. На промежутках находят знаки производной.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.
Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
Приводим таблицу значений производной.
х =    0       1       2      3,666667      4
у' =   11      0     -5             0            3.
Ответ: максимум в точке х = 1, минимум в точке х = 11/3.

2) Уравнение касательной у = y'(xo)(x - xo) + y(xo).    xo = 1.
y'(xo) = 3*1² - 14*1 + 11 = 0,
y(xo) = 1³ -7*1² + 11*1 - 21 = -26.,Так как касательная в точке экстремума, то она горизонтальна.
Ответ: у = -26.

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции F(x) и уравнения касательной в точке x=1 воспользуемся производной функции.

1. Найдем производную функции F(x): F'(x) = d/dx (x^3 - 7x^2 + 11x - 21).

Для нахождения производной, возьмем производную каждого члена по отдельности: F'(x) = 3x^2 - 14x + 11.

2. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 3x^2 - 14x + 11 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения, используем квадратное уравнение или метод дискриминанта: Дискриминант (D) = b^2 - 4ac, где a=3, b=-14, c=11. D = (-14)^2 - 4 * 3 * 11 = 196 - 132 = 64.

Так как дискриминант положителен (D > 0), уравнение имеет два различных корня: x1 = (-b + √D) / 2a = (14 + √64) / 6 = (14 + 8) / 6 = 22 / 6 = 11 / 3 ≈ 3.67, x2 = (-b - √D) / 2a = (14 - √64) / 6 = (14 - 8) / 6 = 6 / 6 = 1.

3. Найдем значения функции F(x) в точках x1 и x2: F(x1) = (11/3)^3 - 7(11/3)^2 + 11(11/3) - 21 ≈ -0.67, F(x2) = 1^3 - 7 * 1^2 + 11 * 1 - 21 = -16.

Таким образом, точка экстремума с x=1 - это минимум, а точка экстремума с x ≈ 3.67 - это максимум.

4. Найдем уравнение касательной к графику функции F(x) в точке x=1. Уравнение касательной имеет вид y = mx + b, где m - это угловой коэффициент, а b - точка, где касательная пересекает ось y.

Для нахождения углового коэффициента m подставим x=1 в производную F'(x): m = F'(1) = 3 * 1^2 - 14 * 1 + 11 = 3 - 14 + 11 = 0.

Теперь найдем значение функции F(x) в точке x=1, чтобы найти b: F(1) = 1^3 - 7 * 1^2 + 11 * 1 - 21 = -16.

Теперь у нас есть угловой коэффициент m = 0 и точка (1, -16) на касательной. Подставим эти значения в уравнение касательной y = mx + b: y = 0 * x + b, y = b.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции F(x) в точке x=1 имеет вид y = -16.

Обратите внимание, что уравнение касательной представляет собой горизонтальную прямую, так как угловой коэффициент m равен нулю.