Question

Помогите пожалуйста Нужно вычислить объем тела, образованного вращением вокруг одной из осей фигуры, ограниченной линиями: y^2=x-2, y=0, x=11, Ox

Answer 1

Линия y²=x-2 является параболой с вершиной в точке x=2 и осью симметрии OX.Уравнение верхней части параболы имеет вид y=√(x-2), потому искомая площадь S=∫π*y²*dx=π*∫(x-2)*dx с пределами интегрирования x1=2, x2=11. Первообразная F(x)=π*∫(x-2)*dx=π*x²/2-2*π*x+C. Подставляя пределы интегрирования, находим S=F(11)-F(2)=(121/2*π-22*π+C)-(2*π-4*π+C)=81*π/2. Ответ:81/2*π.

Answer 2

Хорошо, чтобы вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox, нужно использовать метод цилиндрических оболочек. Этот метод подходит для вращения плоской фигуры вокруг оси, когда фигура ограничена графиками функций y = f(x), y = 0 и вертикальными линиями x = a и x = b.

Ваша фигура ограничена линиями y^2 = x - 2, y = 0, x = 11 и осью Ox. Прежде всего, найдем точки пересечения кривых, чтобы определить интервал интегрирования (a и b).

1. Найдем точки пересечения кривых y^2 = x - 2 и y = 0: y^2 = x - 2 0 = x - 2 x = 2

Теперь у нас есть интервал интегрирования от x = 2 до x = 11.

2. Теперь напишем выражение для радиуса цилиндрической оболочки (r) в зависимости от x. Радиус цилиндрической оболочки - это просто y(x) (расстояние от кривой до оси вращения).

Из уравнения y^2 = x - 2 получим: y = sqrt(x - 2)

3. Теперь можно записать формулу для объема цилиндрической оболочки:

dV = 2π * y * dx

где dV - элементарный объем цилиндрической оболочки, dx - элементарное изменение x, а y = sqrt(x - 2) - радиус цилиндрической оболочки.

4. Теперь проинтегрируем это выражение по интервалу [2, 11], чтобы найти полный объем:

V = ∫[2, 11] 2π * sqrt(x - 2) dx

Интегрируем:

V = 2π ∫[2, 11] sqrt(x - 2) dx

Теперь найдем интеграл:

V = 2π * (2/3) * (x - 2)^(3/2) |[2, 11]

V = 2π * (2/3) * (11 - 2)^(3/2) - 2π * (2/3) * (2 - 2)^(3/2)

V = 2π * (2/3) * 9^(3/2)

V = 2π * (2/3) * 27

V = 2π * 18

V ≈ 113.1 кубических единиц (округлено до одного знака после запятой).

Таким образом, объем тела, образованного вращением вашей фигуры вокруг оси Ox, составляет приблизительно 113.1 кубических единиц.