Question

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a Найдите расстояние между прямыми A1C и DD1

Answer 1

Ответ : а
Потому что расстояние - это перпендикуляр опущенный на сторону А1С со стороны DD1. А так как она находятся в параллельных площадях которые принадлежат кубу, то этим перпендикуляром будет сторона CD.

Answer 2

Для нахождения расстояния между прямыми A1C и DD1, нужно сначала определить уравнения этих прямых. Прямые A1C и DD1 лежат в плоскости, которая параллельна одной из граней куба ABCDA1B1C1D1 (назовем эту грань гранью A1B1C1D1). Для простоты, допустим, что грань A1B1C1D1 параллельна плоскости XY, и сторона куба a лежит на оси X.

Поскольку A1C и DD1 параллельны грани A1B1C1D1, они также параллельны плоскости XY. Таким образом, координаты точек A1, C, D и D1 будут иметь следующий вид:

A1(a, y1, z1) C(a, y2, z2) D(0, y3, z3) D1(0, y4, z4)

Чтобы найти уравнения прямых A1C и DD1, нужно записать их в параметрической форме. Уравнение прямой в параметрической форме имеет вид:

x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct

где (x0, y0, z0) - координаты точки на прямой, а (a, b, c) - направляющий вектор прямой.

Для прямой A1C: (x, y, z) = (a, y1, z1) + t(0, y2-y1, z2-z1)

Для прямой DD1: (x, y, z) = (0, y3, z3) + t(0, y4-y3, z4-z3)

Теперь находим расстояние между двумя параллельными прямыми. Если (p, q, r) - вектор, соединяющий точку одной прямой с точкой другой прямой (т.е. (p, q, r) = (0, y3, z3) - (a, y1, z1)), а (u, v, w) - направляющий вектор одной из прямых (например, (u, v, w) = (0, y4-y3, z4-z3)), тогда расстояние между прямыми вычисляется по формуле:

Расстояние = |(p, q, r) · (u, v, w)| / √(u^2 + v^2 + w^2)

Таким образом, расстояние между прямыми A1C и DD1 равно:

Расстояние = |(0-a, y3-y1, z3-z1) · (0, y4-y3, z4-z3)| / √((0)^2 + (y4-y3)^2 + (z4-z3)^2)

Теперь вычислим:

Расстояние = |(-a, y3-y1, z3-z1) · (0, y4-y3, z4-z3)| / √((y4-y3)^2 + (z4-z3)^2)

Так как произведение (0, y4-y3, z4-z3) и (-a, y3-y1, z3-z1) будет равно 0 (так как они перпендикулярны), то расстояние упростится до:

Расстояние = |(-a, y3-y1, z3-z1)| / √((y4-y3)^2 + (z4-z3)^2)

Расстояние = √(a^2 + (y3-y1)^2 + (z3-z1)^2) / √((y4-y3)^2 + (z4-z3)^2)

Таким образом, окончательное выражение для расстояния между прямыми A1C и DD1 равно:

Расстояние = √(a^2 + (y3-y1)^2 + (z3-z1)^2) / √((y4-y3)^2 + (z4-z3)^2)