Question

Найдите уравнение касательной к функции y(x) в точке x0: y(x)=2x^4-4x³+7x², x0=1

Answer 1

Y = f'(x₀)(x-x₀) + f(x₀)

f'(x) = 8x³ - 12x² + 14x
f'(1) = 8 - 12 + 14 = 10

f(1) = 2 - 4 + 7 = 5

y = 10(x-1) + 5 = 10x - 5

Ответ: y = 10x - 5

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к функции $y(x)$ в точке $x_0=1$, нам понадобятся знания о производных.

Шаги для нахождения уравнения касательной:

1. Найдем производную функции $y(x)$ по $x$. Обозначим ее $y'(x)$ или $\frac{{dy}}{{dx}}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0=1$. Обозначим его как $m$.

3. Уравнение касательной имеет форму $y-y_0 = m \cdot (x-x_0)$, где $y_0 = y(x_0)$.

4. Найдем производную функции $y(x)$:

$y(x) = 2x^4 - 4x^3 + 7x^2$

Для нахождения производной, возьмем производную каждого слагаемого по отдельности:

$y'(x) = \frac{{d}}{{dx}}(2x^4) - \frac{{d}}{{dx}}(4x^3) + \frac{{d}}{{dx}}(7x^2)$

Для $2x^4$ применяем правило степенной производной: $\frac{{d}}{{dx}}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$. Поэтому:

$y'(x) = 8x^3 - 12x^2 + 14x$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0=1$:

$m = y'(1) = 8 \cdot 1^3 - 12 \cdot 1^2 + 14 \cdot 1 = 8 - 12 + 14 = 10$

3. Теперь мы можем записать уравнение касательной:

Исходная функция: $y(x) = 2x^4 - 4x^3 + 7x^2$

Точка касания: $x_0 = 1$

Значение функции в точке касания: $y(1) = 2 \cdot 1^4 - 4 \cdot 1^3 + 7 \cdot 1^2 = 2 - 4 + 7 = 5$

Уравнение касательной: $y - 5 = 10 \cdot (x - 1)$

Таким образом, уравнение касательной к функции $y(x) = 2x^4 - 4x^3 + 7x^2$ в точке $x_0 = 1$ имеет вид $y - 5 = 10 \cdot (x - 1)$.