Question

Вычеслить производную сложной функции y=(2+2x)^3 в точке x=1

Answer 1

У'=3*2*(2+2х)²
у'(1)=6*4²=16*6=96

Answer 2

Для вычисления производной сложной функции необходимо применить правило цепочки (chain rule) для производных. Если у нас есть функция $y = u^3$, где $u = 2 + 2x$, то производная $y'(x)$ будет равна произведению производной $u'(x)$ и производной $u^3$ по переменной $u$.

1. Вычисляем производную $u'(x)$: $u(x) = 2 + 2x$

Производная по переменной $x$ от константы 2 равна нулю, а производная от $2x$ равна 2: $u'(x) = 2$

2. Вычисляем производную $y'(u)$ по переменной $u$: $y(u) = u^3$

Производная по переменной $u$ от $u^3$ равна $3u^2$: $y'(u) = 3u^2$

3. Теперь, когда у нас есть производные $u'(x)$ и $y'(u)$, можем вычислить производную $y'(x)$ по переменной $x$ с помощью правила цепочки:

$y'(x) = y'(u) \cdot u'(x)$

Подставляем значения производных: $y'(x) = 3u^2 \cdot 2$

4. Теперь найдем значение $u$ в точке $x = 1$: $u = 2 + 2x$ $u(1) = 2 + 2 \cdot 1 = 2 + 2 = 4$

5. Подставляем $u(1)$ в $y'(x)$: $y'(x) = 3 \cdot 4^2$

6. Вычисляем значение производной в точке $x = 1$: $y'(1) = 3 \cdot 16 = 48$

Таким образом, производная сложной функции $y = (2 + 2x)^3$ в точке $x = 1$ равна $48$.