Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=3-2x-x^2 y=0;x=0;x=-2

Answer 1

Решение
[-2; 0] ∫ (3-2x-x^2) dx = 3x -x^2 - 1/3 x^3 [-2; 0] =

          = 3(0-(-2)) - (0^2 -(-2)^2) - 1/3 (0^3 -(-2)^3) = 22/3
ответ
22/3

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, нам нужно найти точки их пересечения, а затем вычислить интеграл площади между ними. Сначала найдем точки пересечения:

1. Пересечение линии y = 3 - 2x - x^2 с осью x (y = 0): Подставим y = 0 и решим уравнение: 0 = 3 - 2x - x^2 x^2 + 2x - 3 = 0

Решим квадратное уравнение: x = (-2 ± √(2^2 - 4 * 1 * -3)) / (2 * 1) x = (-2 ± √(4 + 12)) / 2 x = (-2 ± √16) / 2 x = (-2 ± 4) / 2

Таким образом, получаем два значения x: x = 1 и x = -3.

2. Пересечение с осью y (x = 0): Когда x = 0, уравнение принимает вид: y = 3 - 2 * 0 - 0^2 y = 3

3. Пересечение с вертикальной линией x = -2: Когда x = -2, уравнение принимает вид: y = 3 - 2 * (-2) - (-2)^2 y = 3 + 4 - 4 y = 3

Таким образом, точки пересечения линий: A(0, 3), B(1, 0), C(-2, 3).

Теперь вычислим площадь фигуры между кривой y = 3 - 2x - x^2 и осью x на участке от x = -2 до x = 1.

Площадь фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла: $S = \int_{-2}^{1} (3 - 2x - x^2) dx$

Вычислим этот интеграл: $S = \left[3x - x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1}$ $S = \left[3(1) - 1^2 - \frac{1^3}{3}\right] - \left[3(-2) - (-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3}\right]$ $S = (3 - 1 - \frac{1}{3}) - (-6 - 4 + \frac{8}{3})$ $S = (\frac{5}{3}) - (-\frac{14}{3})$ $S = \frac{5}{3} + \frac{14}{3}$ $S = \frac{19}{3}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна $\frac{19}{3}$ (приблизительно 6.33 квадратных единиц).