Question

Дифференциальные уравнения y'=(y+1)x , y(1)=3/2

Answer 1

Посмотрите предложенное решение, проверка не проводилась.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить с помощью метода разделения переменных и метода нахождения частного решения. Давайте решим его шаг за шагом:

1. Разделим уравнение на (y + 1) и переместим dx на одну сторону: y' / (y + 1) = x

2. Интегрируем обе стороны уравнения по x: ∫ (y' / (y + 1)) dx = ∫ x dx

3. Левую часть уравнения проинтегрируем по y, а правую часть возьмем как обычный интеграл от x: ∫ (1 / (y + 1)) dy = x^2 / 2 + C1

4. Интегрируем левую часть уравнения: ln|y + 1| = x^2 / 2 + C1

5. Найдем константу интегрирования C1 с помощью начального условия y(1) = 3/2: ln|3/2 + 1| = 1^2 / 2 + C1 ln(5/2) = 1/2 + C1

6. Выразим C1: C1 = ln(5/2) - 1/2

7. Подставим C1 обратно в уравнение: ln|y + 1| = x^2 / 2 + ln(5/2) - 1/2

8. Приравняем выражение в модуле к экспоненте, чтобы избавиться от натурального логарифма: |y + 1| = e^(x^2/2 + ln(5/2) - 1/2)

9. Упростим выражение в модуле: |y + 1| = e^(x^2/2) * e^(ln(5/2)) * e^(-1/2) |y + 1| = e^(x^2/2) * (5/2)^(1/2) * e^(-1/2)

10. Разделим уравнение на |y + 1| и рассмотрим два случая:

Первый случай: y + 1 > 0 Тогда: y + 1 = e^(x^2/2) * (5/2)^(1/2) * e^(-1/2) y = e^(x^2/2) * (5/2)^(1/2) * e^(-1/2) - 1

Второй случай: y + 1 < 0 Тогда: y + 1 = -e^(x^2/2) * (5/2)^(1/2) * e^(-1/2) y = -e^(x^2/2) * (5/2)^(1/2) * e^(-1/2) - 1

Таким образом, получаем два решения уравнения:

1. y = e^(x^2/2) * (5/2)^(1/2) * e^(-1/2) - 1
2. y = -e^(x^2/2) * (5/2)^(1/2) * e^(-1/2) - 1

Учитывая начальное условие y(1) = 3/2, подставим x = 1 в оба уравнения и определим соответствующее значение константы:

1. y(1) = e^(1/2) * (5/2)^(1/2) * e^(-1/2) - 1 = (5/2)^(1/2) - 1
2. y(1) = -e^(1/2) * (5/2)^(1/2) * e^(-1/2) - 1 = -(5/2)^(1/2) - 1

Таким образом, из двух решений подходит только первое: y = (5/2)^(1/2) - 1

Проверим это решение, подставив его в исходное дифференциальное уравнение: y' = [(5/2)^(1/2) - 1 + 1] * x y' = (5/2)^(1/2) * x

Теперь найдем производную от y и сравним ее с выражением для y': y = (5/2)^(1/2) - 1 y' = 0 (постоянная)

Таким образом, y' = (5/2)^(1/2) * x, что соответствует исходному уравнению. Полученное значение y удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальному условию, поэтому окончательным ответом является: y = (5/2)^(1/2) - 1 ≈ 1.118 - 1 ≈ 0.118 (приблизительно).