Question

Решить уравнение sin(x-60градусов)=cos(x+30градусов)

Answer 1

Sin(x-60)=cos(x+30)
Раскроем обе части уравнения по формулам (формулы для раскрытия на картинке):
Sin(x-60)=sin(x)*cos(60)-cos(x)*sin(60)
cos(x+30)=cos(x)*cos(30)-sin(x)*sin(30)
Перенесем все части уравнения на одну сторону:
sin(x)*cos(60)-cos(x)*sin(60)-cos(x)*cos(30)+sin(x)*sin(30)=0
(sin(x)*cos(60)+sin(x)*sin(30))-(cos(x)*sin(60)+cos(x)*cos(30))=0
sin(x)*(cos(60)+sin(30))-(cos(x)*(sin(60)+cos(30))=0
sin(x)*2*cos(60)-(cos(x)*2*cos(30))=0
sin(x)-cos(x)*√3=0
sin(x)=cos(x)*√3
sin(x)=√(1-sin²(x))*√3
sin(x)=√(3-3*sin²(x))
3-3*sin²(x)=sin²(x)
3-(3*sin²(x)+sin²(x))=0
3-4*sin²(x)=0
4*sin²(x)=0
sin(x)=0
x=0

Answer 2

Для решения уравнения sin(x - 60°) = cos(x + 30°) нужно использовать тригонометрические тождества и свойства синуса и косинуса. Начнем с этого:

1. sin(α - β) = sin(α) * cos(β) - cos(α) * sin(β)
2. cos(α + β) = cos(α) * cos(β) - sin(α) * sin(β)

Заметим, что наше уравнение имеет вид sin(α) = cos(β). Также заметим, что угол α равен (x - 60°), а угол β равен (x + 30°).

Тогда перепишем уравнение с использованием тригонометрических тождеств:

sin(x - 60°) = cos(x + 30°) sin(x) * cos(60°) - cos(x) * sin(60°) = cos(x) * cos(30°) - sin(x) * sin(30°)

Теперь подставим значения синусов и косинусов углов 60° и 30°:

(sin(x) * 1/2) - (cos(x) * √3/2) = (cos(x) * √3/2) - (sin(x) * 1/2)

Теперь сгруппируем слагаемые с неизвестной x:

(sin(x) * 1/2 + sin(x) * 1/2) - (cos(x) * √3/2 + cos(x) * √3/2) = 0

(2 * sin(x) * 1/2) - (2 * cos(x) * √3/2) = 0

sin(x) - √3 * cos(x) = 0

Теперь приведем уравнение к более простому виду, разделим обе стороны на √3:

(sin(x) - √3 * cos(x)) / √3 = 0

sin(x)/√3 - cos(x) = 0

Теперь приведем sin(x)/√3 к виду cos(π/6), где π/6 - угол 30° в радианах:

cos(π/6) - cos(x) = 0

Теперь приведем это уравнение к виду, когда обе части равны:

cos(x) = cos(π/6)

Теперь обратим внимание на область значений углов. Так как у нас только cos(x), это уравнение будет иметь несколько решений.

Периодические свойства косинуса:

cos(x) = cos(y) --> x = ±y + 2πk, k - целое число

Подставим y = π/6:

x = ±π/6 + 2πk

Таким образом, уравнение имеет два решения:

1. x = π/6 + 2πk, где k - целое число
2. x = -π/6 + 2πk, где k - целое число

Для получения численных значений углов, нужно подставить различные целочисленные значения k (0, 1, -1, 2, -2, и т.д.) и получить соответствующие значения x в градусах:

1. x = π/6 + 2π * 0 = π/6 ≈ 30°
2. x = π/6 + 2π * 1 = 7π/6 ≈ 210°
3. x = -π/6 + 2π * 0 = -π/6 ≈ -30°
4. x = -π/6 + 2π * 1 = 5π/6 ≈ 150°

Таким образом, уравнение имеет четыре решения: x ≈ 30°, x ≈ 210°, x ≈ -30° и x ≈ 150°. Или в более общем виде, x = 30° + 360°k и x = 150° + 360°k, где k - целое число.