Question

Сколько существует n-значных чисел, состоящих лишь из цифр 1, 2, 3, в записи которых каждая из трех цифр, по крайней мере, один раз?

Answer 1

3ⁿ - 3 * 2ⁿ + z3
3ⁿ - это всего чисел из трёх этих трёх цифр. У нас три способа выбрать каждую из цифр для того, чтобы поставить её на конкретное место, всего в числе n мест.
3 * 2ⁿ - числа только из 1 и 2, только из 1 и 3, только из 2 и 3. Теперь у нас по два способа выбрать каждую из цифр, но у нас три варианта выбора набора цифр, присутствующих в числе.
3 - это числа 111....111, 222....222, 333....333. Прибавляем, так как отняли их дважды.

Answer 2

Для нахождения количества n-значных чисел, состоящих лишь из цифр 1, 2 и 3, в записи которых каждая из трех цифр встречается по крайней мере один раз, можно воспользоваться методом перебора или более математическим подходом.

Давайте разберемся в более общем случае и затем применим его к трехзначным числам:

Пусть у нас есть m различных цифр (в данном случае m = 3: 1, 2 и 3) и длина числа равна n.

Сначала посчитаем общее количество n-значных чисел, состоящих только из m цифр (без ограничения на то, что каждая из цифр должна встречаться по крайней мере один раз). Это можно сделать просто возведением количества цифр в степень n. Для нашего случая это 3 в степени n.

Теперь вычислим количество n-значных чисел, в которых не используется хотя бы одна из m цифр. Для этого нам нужно вычислить количество чисел, состоящих только из (m-1) цифры и длиной n. Это можно сделать также, как и в предыдущем случае, возведением (m-1) в степень n.

Теперь, чтобы найти количество чисел, в которых каждая из m цифр встречается хотя бы один раз, нужно вычесть количество чисел, в которых хотя бы одна из цифр отсутствует, из общего количества n-значных чисел, состоящих только из m цифр.

Итак, количество n-значных чисел, состоящих только из цифр 1, 2 и 3, в записи которых каждая из трех цифр встречается по крайней мере один раз, равно:

Количество = 3^n - 2^n

Теперь применим эту формулу для n = 3 (трехзначные числа):

Количество трехзначных чисел = 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19

Таким образом, существует 19 трехзначных чисел, состоящих только из цифр 1, 2 и 3, в которых каждая из трех цифр встречается по крайней мере один раз.