Question

Решите уравнение sin2x=|cos x|

Answer 1

Sin2x = | cosx |

Первый случай, когда cosx ≥ 0, тогда
sin2x = cosx
2sinx × cosx - cosx = 0
cosx × ( 2sinx - 1 ) = 0
________________
cosx = 0
x = π/2 + πn, n € Z
________________
2sinx - 1 = 0
sinx = 1/2
x = π/6 + 2πk, k € Z
x = 5π/ 6 + 2πm, m € Z
_________________

Второй случай, когда соsx ≤ 0, тогда
sin2x = - cosx
2sinx × cosx + cosx = 0
cosx × ( 2sinx + 1 ) = 0
________________
cosx = 0
х = π/2 + πn, n € Z
________________
2sinx + 1 = 0
sinx = -1/2
x = - π/6 + 2πl, l € Z
x = -5π/ 6 + 2πs, s € Z
_________________

Ответ: 1) Если cosx ≥ 0, то
х = π/2 + πn, n € Z
x = π/6 + 2πk, k € Z
x = 5π/ 6 + 2πm, m € Z

2) Если cosx ≤ 0 , то
х = π/2 + πn, n € Z
x = - π/6 + 2πl, l € Z
x = -5π/ 6 + 2πs, s € Z

Answer 2

Для решения уравнения sin(2x) = |cos(x)|, давайте разберемся с каждой частью по отдельности.

1. Найдем значения угла x, при которых |cos(x)| принимает различные значения.

Модуль функции |cos(x)| всегда будет равен неотрицательному значению. Он равен 0, когда cos(x) = 0, и он равен положительному значению, когда cos(x) > 0. Таким образом, наше уравнение будет иметь две части:

• sin(2x) = 0, которое имеет решения 2x = k * π, где k - целое число.

• sin(2x) = cos(x), которое можно переписать в виде 2sin(x)cos(x) = cos(x) и далее решить двумя способами:

  a) cos(x) ≠ 0, тогда можно сократить обе стороны на cos(x): 2sin(x) = 1 и найти решение sin(x) = 1/2.

  b) cos(x) = 0, тогда sin(2x) = 0 и получим дополнительные решения из этой части.

2. Решим уравнение sin(2x) = 0:

2x = k * π

x = k * π / 2, где k - целое число.

3. Решим уравнение sin(x) = 1/2:

Для этого уравнения есть несколько решений на интервале [0, 2π]. Эти значения можно найти с помощью таблицы значений или калькулятора. Возможные решения:

a) x = π/6 b) x = 5π/6 c) x = 7π/6 d) x = 11π/6

Теперь у нас есть все решения уравнения. Объединим их:

x = k * π / 2, где k - целое число. x = π/6 + 2πn, где n - целое число. x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число. x = 7π/6 + 2πn, где n - целое число. x = 11π/6 + 2πn, где n - целое число.

Где n и k могут быть любыми целыми числами. Это будет бесконечный набор решений, так как у нас есть несколько кратных углов и решения повторяются через каждый период 2π.