Question

Упростите выражение:(1+tg^2альфа)cos^2aльфа-sin^2альфа

Answer 1

Альфа я обозначила просто как a
(1+tg^2a)*cos^2a-sin^2a = (1+sin^2a/cos^2a)*cos^2a - sin^2a= cos^2a + sin^2a - sin^2a = cos^2a

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Начнем с тождества тангенса квадрата:

1 + tg^2(α) = sec^2(α)

Теперь, зная, что sec(α) равно обратному косинусу (sec(α) = 1/cos(α)), можем переписать выражение:

(1 + tg^2(α))cos^2(α) - sin^2(α)

= sec^2(α)cos^2(α) - sin^2(α)

Теперь воспользуемся тождеством:

sec^2(α) - sin^2(α) = 1

Таким образом, окончательное упрощенное выражение:

1*cos^2(α) - sin^2(α)

= cos^2(α) - sin^2(α)

Используя тригонометрическое тождество sin^2(α) + cos^2(α) = 1, можем дальше упростить:

cos^2(α) - sin^2(α) = 1 - sin^2(α) - sin^2(α)

= 1 - 2sin^2(α)

Таким образом, упрощенное выражение равно:

1 - 2sin^2(α)