Question

Докажите, что (3^n + 1)^n - 2 делится на 3^n - 2

Answer 1

Доказать, что  $(3^{n} +1)^{n}-2$ делится на  $3^{n} -2$

====

Вспомним формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем  $q, q\ \textgreater \ 1$ :  $S= \frac{q^{n}-1 }{q-1}$;
Здесь мы взяли первый член равный единице и q∈N; Очевидно, что эта сумма есть целое число, иными словами  $q^{n}-1$ делится на  $q-1$. Пусть здесь  $q=3^{n}-1$. Имеем: $\frac{(3^{n}-1)^{n}-1 }{3^{n}-2 }$ число целое (*). Нам же нужно доказать, что число  $\frac{(3^{n}+1)^{n}-2 }{ 3^{n}-2 }$ целое.

Итак, раз число (*) целое, то число  $(3^{n} -1)^{n}$ дает остаток 1 от деления на число  $3^{n}-2$; Осталось лишь найти остаток от деления на то же число числа  $(3^{n} +1)^{n}$. Найдем произведение этих двух чисел:  $(3^{n} +1)^{n}(3^{n} -1)^{n} = (3^{2n}-1)^{n}$ Пусть остаток от деления этого числа на число $3^{n}-2$ равен x; Мы знаем, что остаток от деления числа  $(3^{2n}-1)^{n}$ на число $3^{2n}-2$ равен 1. А остаток от деления числа $3^{2n}-2$ на число $3^{n}-2$ равен 2. Стало быть, остаток от деления числа $3^{2n}-1$ на число $3^{n}-2$ равен 3.
Отсюда остаток от деления числа $(3^{2n}-1)^{n}$ на число $3^{n}-2$ равен  $3^{n}$ ; Но  $3^{n} \ \textgreater \ 3^{n} -2$, поэтому остаток равен 2. Мы только что нашли x. x = 2, а остаток от деления на число $3^{n}-2$ числа $(3^{n} -1)^{n}$, как уже говорилось равен 1. Значит искомый остаток от деления на $3^{n}-2$ числа $(3^{n} +1)^{n}$ равен 2. Отсюда и следует, что $(3^{n} +1)^{n}-2$ делится на  $3^{n} -2$

Извини, что запутано :)

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $(3^n + 1)^n - 2$ делится на $3^n - 2$, нам нужно показать, что оно является кратным $3^n - 2$, то есть можно записать $(3^n + 1)^n - 2$ в виде $k(3^n - 2)$, где $k$ - некоторое целое число.

Давайте разложим $(3^n + 1)^n$ с помощью бинома Ньютона, чтобы получить более простую форму:

$(3^n + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (3^n)^k \cdot 1^{n-k} = \binom{n}{0} (3^n)^0 \cdot 1^n + \binom{n}{1} (3^n)^1 \cdot 1^{n-1} + \sum_{k=2}^{n} \binom{n}{k} (3^n)^k \cdot 1^{n-k}$

Заметим, что для $k \geq 2$ выполняется:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

При $k \geq 2$ каждый из множителей $(3^n)^k$ и $1^{n-k}$ является степенью 3, и степень $3^n$ делится на $3^n$. Таким образом, все слагаемые при $k \geq 2$ делятся на $3^n$.

Теперь можно записать:

$(3^n + 1)^n = 1 + n \cdot 3^n + \text{целое число, делящееся на } 3^n$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(3^n + 1)^n - 2 = 1 + n \cdot 3^n + \text{целое число, делящееся на } 3^n - 2$

Получили, что $(3^n + 1)^n - 2$ можно записать в виде $1 + n \cdot 3^n$ плюс некоторое целое число, которое делится на $3^n - 2$. Таким образом, $(3^n + 1)^n - 2$ делится на $3^n - 2$.

Таким образом, доказано, что $(3^n + 1)^n - 2$ делится на $3^n - 2$.