Question

3cos2x+sin2x-cos6x+sin6x=0 Мне кажется, что это можно расписать проще, чем кажется Только не забывайте про тройку. Помогите решить, а то я сомневаюсь

Answer 1

$3cos2x+sin2x-cos6x+sin6x=0\\\\2cos2x+(\underbrace {cos2x-cos6x}_{2sin2x\cdot sin4x})+(\underbrace {sin2x+sin6x}_{2sin4x\cdot cos2x})=0\, |:2\\\\cos2x+sin2x\cdot sin4x+sin4x\cdot cos2x=0\\\\cos2x+sin2x\cdot 2sin2x\cdot cos2x+sin4x\cdot cos2x=0\\\\cos2x\cdot (1+2sin^22x+sin4x)=0\\\\a)\; \; cos2x=0\; ,\; \; 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; \; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z\\\\b)\; \; 1+2sin^22x+sin4x=0\\\\2sin^22x+(\underbrace {sin^22x+cos^22x}_{1})+\underbrace {2sin2x\cdot cos2x}_{sin4x}=0\\\\\underbrace {2sin^22x}_{\geq 0}+\underbrace {(sin2x+cos2x)^2}_{\geq 0}=0\; \; \Rightarrow$

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, если каждое выражение обращается в ноль.

$sin^22x=0\; \; \to \; \; sin2x=0\; ,\; \; 2x=\pi k,\; x=\frac{\pi k}{2}\; ,\; k\in Z\\\\(sin2x+cos2x)^2=0\; \to \; sin2x+cos2x=0\, |:cos2x\ne 0\\\\tg2x=-1\; ,\; \; 2x=-\frac{\pi}{4}+\pi m\; ,\; x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi m}{2}\; ,\; m\in Z\\\\Otvet:\; \; \frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}\; ;\; \frac{\pi k}{2}\; ;\; -\frac{\pi }{8}+\frac{\pi m}{2}\; ,\; \; n,k,m\in Z\; .$

Answer 2

Да, вы правы, это уравнение можно упростить. Для начала, давайте заменим все тригонометрические функции с их эквивалентами через квадраты и двойные углы:

1. Квадраты: cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2 sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2

2. Двойные углы: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь распишем уравнение:

3cos^2(x) + sin^2(x) - cos(6x) + sin(6x) = 0

Заменяем cos^2(x) и sin^2(x):

3((1 + cos(2x)) / 2) + ((1 - cos(2x)) / 2) - cos(6x) + sin(6x) = 0

Теперь объединяем числители:

(3 + 1)cos(2x) + (1 - 1)sin(2x) - cos(6x) + sin(6x) = 0

Сокращаем:

4cos(2x) + sin(2x) - cos(6x) + sin(6x) = 0

Теперь заменяем cos(2x) и sin(2x):

4(2cos^2(x) - 1) + 2sin(x)cos(x) - cos(6x) + sin(6x) = 0

8cos^2(x) - 4 + 2sin(x)cos(x) - cos(6x) + sin(6x) = 0

Теперь обратите внимание на cos(6x) и sin(6x). Эти термины можно представить через cos(3x) и sin(3x) с помощью формулы произведения:

cos(6x) = 2cos^2(3x) - 1 sin(6x) = 2sin(3x)cos(3x)

Подставляем:

8cos^2(x) - 4 + 2sin(x)cos(x) - (2cos^2(3x) - 1) + (2sin(3x)cos(3x)) = 0

Теперь у нас есть уравнение с тремя неизвестными: x, cos(x) и sin(x). Мы не можем найти точное аналитическое решение без дополнительных условий. Если у вас есть дополнительные условия (например, диапазон значений или другие ограничения), пожалуйста, уточните их, и я постараюсь помочь вам найти решение.