Question

Исследование функции y=2x^3+9x^2+12x

Answer 1

Не знаю, что больше делать, это максимум

Answer 2

Для исследования функции y = 2x^3 + 9x^2 + 12x, мы проведем анализ ее свойств, таких как область определения, точки пересечения с осями, экстремумы, выпуклость, асимптоты и поведение при различных значениях x.

1. Область определения: Функция является многочленом, и многочлены определены для всех действительных чисел x. Поэтому область определения этой функции является множеством всех действительных чисел.

2. Точки пересечения с осями: а) Пересечение с осью y (x = 0): Подставим x = 0 в функцию: y = 2 * 0^3 + 9 * 0^2 + 12 * 0 y = 0 Таким образом, функция пересекает ось y в точке (0, 0).

б) Пересечение с осью x (y = 0): Приравняем функцию к нулю и решим уравнение: 2x^3 + 9x^2 + 12x = 0

Попробуем вынести общий множитель: x(2x^2 + 9x + 12) = 0

Теперь решим уравнение 2x^2 + 9x + 12 = 0. Мы можем либо использовать квадратное уравнение, либо заметить, что у этого квадратного трехчлена нет действительных корней, так как его дискриминант (D = b^2 - 4ac) отрицателен.

Таким образом, функция не имеет действительных точек пересечения с осью x.

3. Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю (это могут быть локальные минимумы или максимумы) и проверить их на выпуклость.

Производная функции y по x: dy/dx = d/dx (2x^3 + 9x^2 + 12x) dy/dx = 6x^2 + 18x + 12

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: 6x^2 + 18x + 12 = 0

Вынесем общий множитель: 6(x^2 + 3x + 2) = 0

Решим квадратное уравнение x^2 + 3x + 2 = 0: (x + 1)(x + 2) = 0

Получаем два значения x: x = -1 и x = -2.

Теперь найдем значения y в этих точках: Для x = -1: y = 2(-1)^3 + 9(-1)^2 + 12(-1) = -2 + 9 - 12 = -5 Точка экстремума: (-1, -5)

Для x = -2: y = 2(-2)^3 + 9(-2)^2 + 12(-2) = -16 + 36 - 24 = -4 Точка экстремума: (-2, -4)

4. Выпуклость: Чтобы определить выпуклость функции, нужно проанализировать знак второй производной (производной производной) функции.

Возьмем вторую производную функции y по x: d^2y/dx^2 = d/dx (6x^2 + 18x + 12) d^2y/dx^2 = 12x + 18

Подставим значения x, найденные ранее: При x = -1: d^2y/dx^2 = 12(-1) + 18 = 6 > 0 Функция выпукла вверх в точке (-1, -5).

При x = -2: d^2y/dx^2 = 12(-2) + 18 = -6 < 0 Функция выпукла вниз в точке (-2, -4).

5. Асимптоты: Учитывая, что функция является многочленом, у нее нет вертикальных и наклонных асимптот. Если бы функция содержала рациональные или иррациональные дроби, то можно было бы рассмотреть асимптоты, но в данном случае функция не имеет асимптот.

Итак, исследование функции y = 2x^3 + 9x^2 + 12x дало следующие результаты:

• Область определения: все действительные числа.
• Пересечение с осями: (0, 0).
• Экстремумы: минимум в точке (-1, -5) и минимум в точке (-2, -4).
• Выпуклость: выпукла вверх в точке (-1, -5) и выпукла вниз в точке (-2, -4).
• Асимптоты: нет.

Вы можете построить график функции, чтобы визуализировать ее свойства.