Question

Выяснить вид угла между векторами a=i+j+k и b=5i+2j-k

Answer 1

$\cos( \alpha ) = \frac{a \times b}{ |a| \times |b| }$
a= i+j+k, a=(1,1,1)
b=5i+2j-k, b=(5,2,-1)
a*b= 1*5+1*2+1*(-1) = 6
|a| = sqrt(1^2+1^2+1^2) = sqrt(3)
|b| = sqrt(5^2+2^2+(-1)^2) = sqrt (30)
$\cos( \alpha ) = \frac{6}{ \sqrt{3} \times \sqrt{30} } = \frac{2}{ \sqrt{10} }$
cosa > 0, значит, угол острый.

Answer 2

Для выяснения вида угла между векторами a и b, нам нужно использовать формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (a · b) / (||a|| * ||b||)

Где a · b представляет скалярное произведение векторов a и b, а ||a|| и ||b|| представляют длины этих векторов.

Давайте вычислим сначала скалярное произведение a · b:

a · b = (i + j + k) · (5i + 2j - k) = i(5i) + i(2j) + i(-k) + j(5i) + j(2j) + j(-k) + k(5i) + k(2j) + k(-k) = 5i^2 + 2ij - ki + 5ij + 2j^2 - kj + 5ki + 2kj - k^2

Так как i^2 = j^2 = k^2 = 1 и ij = ji = 0 (так как i и j перестановочные), то:

a · b = 5i^2 + 2ij - ki + 5ij + 2j^2 - kj + 5ki + 2kj - k^2 = 5 + 0 - k + 0 + 2 - 0 + 0 + 0 - 1 = 6 - k

Теперь найдем длины векторов a и b:

||a|| = √(i^2 + j^2 + k^2) = √(1 + 1 + 1) = √3

||b|| = √(5^2 + 2^2 + (-1)^2) = √(25 + 4 + 1) = √30

Теперь можем вычислить косинус угла между векторами a и b:

cos(θ) = (a · b) / (||a|| * ||b||) cos(θ) = (6 - k) / (√3 * √30)

Таким образом, вид угла между векторами a и b задается выражением:

cos(θ) = (6 - k) / (√3 * √30)