Question

Найти интеграл dx/(5*x^2-9)

Answer 1

$\int \frac{dx}{5x^2-9}=\frac{1}{5}\int\frac{dx}{x^2-\frac{9}{5}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{3}{\sqrt5}}\cdot ln\Big |\frac{x- \frac{3}{\sqrt5} }{x+ \frac{3}{\sqrt5}}\Big |+C=\\\\=\frac{1}{6\sqrt5}\cdot ln\Big |\frac{\sqrt5x-3}{\sqrt5x+3}\Big |+C$

Answer 2

Для интегрирования данной функции используем метод частных дробей.

Интеграл ∫ dx / (5x^2 - 9) можно представить в виде суммы двух простых дробей:

∫ dx / (5x^2 - 9) = ∫ (A / (x - 3) + B / (x + 3)) dx

где A и B - неизвестные константы, которые нужно найти.

Сначала найдем A и B, раскрывая правую часть уравнения:

1 = A(x + 3) + B(x - 3)

Теперь подставим два значения для x, чтобы найти значения A и B.

Пусть x = 3: 1 = A(3 + 3) + B(3 - 3) 1 = 6A

A = 1/6

Пусть x = -3: 1 = A(-3 + 3) + B(-3 - 3) 1 = -6B

B = -1/6

Теперь, зная значения A и B, интегрируем:

∫ dx / (5x^2 - 9) = ∫ (1/6) / (x - 3) - (1/6) / (x + 3) dx

= (1/6) * ∫ dx / (x - 3) - (1/6) * ∫ dx / (x + 3)

Интеграл ∫ dx / (x - 3) это ln(|x - 3|), а ∫ dx / (x + 3) это ln(|x + 3|), поэтому:

∫ dx / (5x^2 - 9) = (1/6) * ln(|x - 3|) - (1/6) * ln(|x + 3|) + C

где C - произвольная константа интегрирования.