Question

Решите неравенство f'(x)<0, если: а) f(x)= x^3+1.5x^2 б) f(x)= 4x-1/3x^3

Answer 1

a) f'(x) =3x^2+3x <0

3x*(x+1)<0

x=0 x+1=0

x=-1

(-1;0)

b)f'(x)=4-1/3*3x^2 = 4-x^2<0

x^2-4>0

(x-2)(x+2)>0

x=2 x=-2

(-oo;-2)U(2;+oo)

Answer 2

Для решения данных неравенств нужно найти производные функций и определить интервалы, на которых производные меньше нуля.

а) Первая функция: f(x) = x^3 + 1.5x^2

Шаг 1: Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx(x^3) + d/dx(1.5x^2) f'(x) = 3x^2 + 3x

Шаг 2: Решим неравенство f'(x) < 0: 3x^2 + 3x < 0

Шаг 3: Факторизуем выражение и найдем значения x: 3x(x + 1) < 0

Теперь определим знаки произведений на каждом интервале числовой прямой:

1. x < -1
2. -1 < x < 0
3. x > 0

Значения производной f'(x) в каждом интервале:

1. f'(-2) = 3*(-2)^2 + 3*(-2) = 12 > 0 (не удовлетворяет условию)
2. f'(-0.5) = 3*(-0.5)^2 + 3*(-0.5) = -1.5 < 0 (удовлетворяет условию)
3. f'(1) = 31^2 + 31 = 6 > 0 (не удовлетворяет условию)

Ответ: неравенство f'(x) < 0 выполняется на интервале -1 < x < 0.

б) Вторая функция: f(x) = 4x - (1/3)x^3

Шаг 1: Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx(4x) - d/dx((1/3)x^3) f'(x) = 4 - x^2

Шаг 2: Решим неравенство f'(x) < 0: 4 - x^2 < 0

Шаг 3: Решим полученное квадратное неравенство: x^2 - 4 > 0 (x - 2)(x + 2) > 0

Значения производной f'(x) в каждом интервале:

1. x < -2
2. -2 < x < 2
3. x > 2

На каждом из интервалов возьмем тестовое значение x и проверим знак производной f'(x):

1. f'(-3) = 4 - (-3)^2 = -5 < 0 (удовлетворяет условию)
2. f'(-1) = 4 - (-1)^2 = 3 > 0 (не удовлетворяет условию)
3. f'(3) = 4 - 3^2 = -5 < 0 (удовлетворяет условию)

Ответ: неравенство f'(x) < 0 выполняется на интервалах x < -2 и x > 2.