Question

Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 10 очков. Построить закон распределения числа выбитых очков. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Answer 1

Пусть  $X$ - число выбитых очков. Значения величины  $X:~ x_1=0;~ x_2=10;~ x_3=20;~ x_4=30$

Случайная величина  $X$ распределена по биномиальному закону. Согласно формуле Бернулли, посчитаем вероятности попаданий и промаха.
p = 0.4 - вероятность успеха в одном испытании.

$p_1=(1-p)^3=0.6^3=0.216\\ p_2=C^1_3p(1-p)^2=3\cdot0.4\cdot 0.6^2=0.432\\ p_3=C^2_3p^2(1-p)=3\cdot 0.4^2\cdot 0.6=0.288\\ p_4=p^3=0.4^3=0.064$

Закон распределения числа выбитых очков смотрите на фотографии.

Математическое ожидание случайной величины X:  $M(X)=np=3\cdot 0.4=1.2$

Дисперсия случайной величины X:  $D(X)=npq=3\cdot0.4\cdot0.6=0.72$

Answer 2

Для построения закона распределения числа выбитых очков воспользуемся биномиальным распределением, так как у нас имеется серия независимых испытаний (выстрелов), каждое из которых имеет два возможных исхода (попадание или промах).

Пусть X - случайная величина, обозначающая количество попаданий из трех выстрелов. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 3 (количество испытаний) и p = 0,4 (вероятность попадания в одном выстреле).

Формула для биномиального распределения: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где C(n, k) - число сочетаний из n по k (т.е., количество способов выбрать k успешных исходов из n возможных), а p^k * (1 - p)^(n - k) - вероятность того, что из n испытаний произойдет k успехов и (n - k) неудач.

Теперь вычислим вероятности для различных значений k (число попаданий) и построим закон распределения:

P(X = 0) = C(3, 0) * 0,4^0 * (1 - 0,4)^3 = 1 * 1 * 0,216 = 0,216 P(X = 1) = C(3, 1) * 0,4^1 * (1 - 0,4)^2 = 3 * 0,4 * 0,36 = 0,432 P(X = 2) = C(3, 2) * 0,4^2 * (1 - 0,4)^1 = 3 * 0,16 * 0,6 = 0,288 P(X = 3) = C(3, 3) * 0,4^3 * (1 - 0,4)^0 = 1 * 0,064 * 1 = 0,064

Теперь найдем математическое ожидание (среднее значение) этой случайной величины:

E(X) = Σ (k * P(X = k)) для всех значений k E(X) = 0 * 0,216 + 1 * 0,432 + 2 * 0,288 + 3 * 0,064 E(X) = 0 + 0,432 + 0,576 + 0,192 E(X) = 1,2

Теперь найдем дисперсию случайной величины:

Var(X) = Σ ((k - E(X))^2 * P(X = k)) для всех значений k Var(X) = (0 - 1,2)^2 * 0,216 + (1 - 1,2)^2 * 0,432 + (2 - 1,2)^2 * 0,288 + (3 - 1,2)^2 * 0,064 Var(X) = 1,44 * 0,216 + 0,04 * 0,432 + 0,64 * 0,288 + 1,44 * 0,064 Var(X) = 0,3104

Итак, закон распределения числа выбитых очков выглядит следующим образом: X = 0 с вероятностью 0,216 X = 1 с вероятностью 0,432 X = 2 с вероятностью 0,288 X = 3 с вероятностью 0,064

Математическое ожидание (среднее значение) E(X) = 1,2 Дисперсия Var(X) = 0,3104