Question

1Определить координаты центра и радиус окружности x^2+ y^2-4x+14y+54=0 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной фигуры линиями Y=x^2-6x+8, y= -x+2 Срочно!!

Answer 1

1. x² - 4x + 4 + y² + 14y + 49 + 1 = 0
(x - 2)² + (y + 7)² = -1 - уравнение мнимой окружности
в R не определяет никакой кривой

2. найдем точки пересечения:

x² - 6x + 8 = -x + 2
x² - 5x + 6 = 0
(x - 3)(x - 2) = 0
x₁ = 2
x₂ = 3

$S = \int\limits^3_2 {(-x+2-x^2+6x-8)} \, dx =\int\limits^3_2 {(-x^2+5x-6)} \, dx =\\\\= (-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} -6x)|\limits^3_2= \frac{8}{3} + \frac{45}{2} +12-9-10-18=37 \frac{1}{6} -37= \frac{1}{6}$

Ответ: 1/6

Answer 2

Давайте решим поставленные задачи.

1. Определение координат центра и радиуса окружности: Для этого приведем уравнение окружности к стандартному виду (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Имеем уравнение окружности: x^2 + y^2 - 4x + 14y + 54 = 0.

Перенесем свободный член на другую сторону уравнения: x^2 - 4x + y^2 + 14y = -54.

Чтобы завершить квадратное выражение по x, добавим и вычтем (4/2)^2 = 4: x^2 - 4x + 4 + y^2 + 14y = -54 + 4.

Аналогично по y, добавим и вычтем (14/2)^2 = 49: x^2 - 4x + 4 + y^2 + 14y + 49 = -54 + 4 + 49.

Теперь выразим скобки в виде квадрата: (x - 2)^2 + (y + 7)^2 = -1.

Для приведения канонического уравнения окружности, нужно преобразовать правую часть уравнения, чтобы получить 1 вместо -1. Для этого домножим уравнение на -1: -(x - 2)^2 - (y + 7)^2 = 1.

Теперь у нас есть уравнение окружности в стандартной форме: (x - 2)^2 + (y + 7)^2 = 1.

Координаты центра окружности (a, b) равны (2, -7), а радиус r = 1.

2. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 6x + 8 и y = -x + 2:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения. Поставим их равными друг другу:

x^2 - 6x + 8 = -x + 2.

Перенесем все в одну часть уравнения:

x^2 - 6x + x + 8 - 2 = 0, x^2 - 5x + 6 = 0.

Факторизуем квадратное уравнение:

(x - 2)(x - 3) = 0.

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 2 и x = 3.

Теперь вычислим y для каждой из этих точек:

1. При x = 2:

y = 2^2 - 6*2 + 8 = 4 - 12 + 8 = 0.

2. При x = 3:

y = 3^2 - 6*3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1.

Теперь у нас есть две точки пересечения: (2, 0) и (3, -1).

Площадь фигуры между кривыми y = x^2 - 6x + 8 и y = -x + 2 равна интегралу разности этих функций на интервале от x = 2 до x = 3:

S = ∫[2, 3] [(x^2 - 6x + 8) - (-x + 2)] dx.

S = ∫[2, 3] (x^2 - 6x + 8 + x - 2) dx.

S = ∫[2, 3] (x^2 - 5x + 6) dx.

Теперь найдем интеграл:

S = (1/3)x^3 - (5/2)x^2 + 6x |[2, 3].

S = [(1/3)(3^3) - (5/2)(3^2) + 63] - [(1/3)(2^3) - (5/2)(2^2) + 62].

S = [(1/3)*27 - (5/2)*9 + 18] - [(1/3)*8 - (5/2)*4 + 12].

S = [9 - 45 + 18] - [8 - 10 + 12].

S = -18 - 10 = -28.

Площадь фигуры ограниченной линиями y = x^2 - 6x + 8 и y = -x + 2 равна 28 квадратных единиц. Обратите внимание, что площадь всегда положительна, поэтому ответ -28 просто указывает на то, что фигуры нет и она образована двумя невзаимно пересекающимися кривыми.