Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями x-2y+4=0, y=2x+3, y=0 (через интеграл + график если можно) 85 баллов

Answer 1

Находим абсциссы точек пересечения прямых с осью Ох.

x-2y+4=0, y=0, х = -4.

y=2x+3, y=0, х = -3/2 = -1,5.

Теперь определяем точку пересечения прямых.

Первую прямую выразим относительно у =(1/2)х + 2

(1/2)х+2=2x+3,

1,5х = -1,

х = -2/3.

Теперь можно переходить к площади.

Заданная фигура состоит из двух частей.

Первая S1 - ограничена прямой у = (1/2)х + 2, осью Ох и двумя прямыми х = -4, х = -1,5.

Вторая S2- заключена между наклонными прямыми и прямыми х = 1,5 и х = -2/3.

$S_1=\int\limits^{-1,5}_{-4} {(\frac{1}{2}x+2)} \, dx =\frac{x^2}{4} +2x|_{-4}^{-1,5}=0,3333+0,1875=0,520833.$

$S_2=\int\limits^{-2/3}_{-1,5} {(0,5x+2-(2x+3))} \, dx =\int\limits^{-2/3}_{-1,5} {(-1,5x-1)} \, dx =-\frac{3x^2}{4}-x|_{-1,5}^{-2/3}=-2,4375+4=1,5625.$

Получаем ответ: S = 0,520833+1,5625 = 2,083333 = 25/12.

этот результат легко проверить:

S = (1/2)*2.5*(5/3) = 25/12.

Здесь (5/3) - ордината точки пересечения прямых.

Answer 2

Решение задания смотри на фотографии

Answer 3

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, мы можем использовать метод интегралов. Нам нужно найти интеграл функции, которая представляет собой разницу между двумя заданными функциями, ограничивающими эту фигуру.

Дано:

1. Линия x - 2y + 4 = 0 (или можно переписать в виде y = 0.5x + 2)
2. Линия y = 2x + 3
3. Линия y = 0 (x-ось)

Чтобы найти точки пересечения, приравняем пары линий:

1. x - 2y + 4 = 2x + 3

2. 2x + 3 = 0

3. x - 2y + 4 = 0.5x + 2 0.5x - 2y + 2 = 0 0.5x = 2y - 2 x = 4y - 4

Теперь найдем точки пересечения с осью x:

2x + 3 = 0 2x = -3 x = -3/2

Таким образом, точки пересечения с осью x: (-3/2, 0).

Теперь вычислим точки пересечения двух данных функций:

y = 0.5x + 2 y = 2x + 3

0.5x + 2 = 2x + 3 0.5x - 2x = 3 - 2 -1.5x = 1 x = -1/1.5 x = -2/3

Таким образом, точка пересечения этих двух функций: (-2/3, 7/3).

Теперь мы можем построить график, чтобы визуализировать эту область:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определение функций
def f1(x):
    return 0.5 * x + 2

def f2(x):
    return 2 * x + 3

# Создание массива x значений для графика
x = np.linspace(-2, 2, 100)

# Создание массивов y значений для каждой функции
y1 = f1(x)
y2 = f2(x)

# Заполнение области между функциями
plt.fill_between(x, y1, y2, where=(y1 > y2), color='gray', alpha=0.5)

# Построение графиков функций
plt.plot(x, y1, label='y = 0.5x + 2')
plt.plot(x, y2, label='y = 2x + 3')

# Установка осей и заголовка
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Область между функциями')

# Добавление легенды
plt.legend()

# Показать график
plt.grid()
plt.show()

Теперь нам нужно вычислить площадь области между этими функциями с помощью интегралов. Для этого нужно вычислить разность между функциями и проинтегрировать ее на заданном интервале.

Площадь области между функциями можно вычислить следующим образом:

$S = \int_{-2/3}^{-3/2} \left( (2x + 3) - (0.5x + 2) \right) dx$

$S = \int_{-2/3}^{-3/2} (1.5x + 1) dx$

$S = \frac{1.5}{2} \left[ x^2 + x \right]_{-2/3}^{-3/2}$

$S = \frac{1.5}{2} \left[ \left( \frac{-3}{2} \right)^2 + \frac{-3}{2} - \left( \frac{-2}{3} \right)^2 - \frac{-2}{3} \right]$

$S = \frac{1.5}{2} \left[ \frac{9}{4} - \frac{3}{2} - \frac{4}{9} + \frac{2}{3} \right]$

$S = \frac{1.5}{2} \left[ \frac{9}{4} - \frac{4}{4} + \frac{2}{3} - \frac{3}{2} \right]$

$S = \frac{1.5}{2} \left[ \frac{5}{4} - \frac{1}{6} \right]$

$S = \frac{1.5}{2} \cdot \frac{13}{12}$

$S = \frac{13}{16}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, составляет $\frac{13}{16}$ квадратных единиц.