Question

Вычислите площадь фигур, ограниченную линиями y=-x^2+4, y=0

Answer 1

-x^2+4=0

-x^2=-4

x^2=4

x=2

x=-2

(-2;2)S(x^2-4)dx = x^3/3 -4x | (-2;2) = 2^3/3 -4*2 - ((-2)^3/3-4*(-2) ) =

=8/3-8+8/3-8=16/3-16 = 5 1/3 - 15 3/3= -10 2/3 = 10 2/3 ( Т.к. площадь не может быть отрицательной)

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо найти точки их пересечения и затем интегрировать разность функций по оси x в пределах этих точек.

Для начала, найдем точки пересечения линии y = -x^2 + 4 с осью x, то есть те значения x, при которых y равно нулю:

0 = -x^2 + 4

Переносим все в одну сторону:

x^2 = 4

Извлекаем квадратный корень:

x = ±√4

x = ±2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (-2, 0) и (2, 0).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4 и y = 0, необходимо проинтегрировать функцию y = -x^2 + 4 в пределах от x = -2 до x = 2:

Площадь = ∫[от -2 до 2] (-x^2 + 4) dx

Вычислим интеграл:

∫ (-x^2 + 4) dx = [-x^3/3 + 4x] | [от -2 до 2]

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

Площадь = [-(2)^3/3 + 4(2)] - [(-(-2)^3/3 + 4(-2))]

Площадь = [-(8/3) + 8] - [-(8/3) - 8]

Площадь = [8 - 8/3] - [8 + 8/3]

Площадь = 24/3 - 8/3

Площадь = 16/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4 и y = 0, равна 16/3 или приближенно 5.33 квадратных единицы.