Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=4x+x^2; y=0

Answer 1

4x+x^2=0

x*(4+x)=0

x=0 x=-4

(-4;0) S (4x+x^2) dx = 2x^2 +x^3/3 | (-4;0) = 0- ( 32-64/3) = -32+64/3 =

=-32+21 1/3 = -31 3/3 + 21 1/3 = -10 2/3 = 10 2/3 (т.к. площадь не может быть отрицательной)

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x + x^2 и y = 0, необходимо найти точки пересечения этих двух кривых, а затем интегрировать между ними функцию y = 4x + x^2.

1. Найдем точки пересечения: Поскольку обе линии задаются в уравнениях y = 4x + x^2 и y = 0, то для нахождения точек пересечения нужно приравнять их:

4x + x^2 = 0

Теперь найдем решение этого квадратного уравнения:

x^2 + 4x = 0

Факторизуем:

x(x + 4) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: x = 0 и x = -4.

2. Теперь, чтобы найти площадь фигуры между кривыми, интегрируем функцию y = 4x + x^2 от x = -4 до x = 0:

Площадь = ∫[от -4 до 0] (4x + x^2) dx

Интегрируем:

Площадь = [2x^2 + (x^3)/3] |[от -4 до 0]

Площадь = [2(0)^2 + ((0)^3)/3] - [2(-4)^2 + ((-4)^3)/3]

Площадь = [0 + 0] - [2(16) + (-64)/3]

Площадь = 0 - [32 - 64/3]

Площадь = 0 + 32 + 64/3

Площадь = 32 + 64/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x + x^2 и y = 0, равна 32 + 64/3 или приближенно 53.3333 квадратных единицы.