Question

Помогите решить уравнение: 3 sin^2(180°-x)+2sin(90°+x)cos(90°+x)-5sin^2(270°+x)=0

Answer 1

3sin²(180°-x)+2sin(90°+x)cos(90°+x)-
5sin²(270°+x)=0
3sin²x-2sinxcosx-5cos²x=0 |:cos²x≠0
3tg²x-2tgx-5=0;tgx=t
3t²-2t-5=0
D=4+60=64=8²
t=(2±8)/6
t1=10/6=5/3
t2=-1
tgx=5/3;x=arctg5/3+πk
tgx=-1;x=-π/4+πk;k€Z

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом. Используем некоторые тригонометрические тождества для упрощения выражения:

1. Тригонометрические тождества:

   • $\sin(180°-x) = \sin(x)$
   • $\cos(180°-x) = -\cos(x)$
   • $\sin(90°+x) = \cos(x)$
   • $\cos(90°+x) = -\sin(x)$
   • $\sin(270°+x) = -\cos(x)$

2. Подставим эти тождества в уравнение: $3\sin^2(x) + 2\cos(x)(-\sin(x)) - 5\sin^2(-\cos(x)) = 0$

3. Заменим $\sin^2(x)$ и $\cos^2(x)$ на известное тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$: $3\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 5(1 - \sin^2(x)) = 0$

4. Раскроем скобки: $3\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 5 + 5\sin^2(x) = 0$

5. Объединим подобные члены: $8\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 5 = 0$

6. Теперь обратим внимание на множество членов синуса и косинуса. Мы знаем, что $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, поэтому можем переписать уравнение следующим образом: $8\sin^2(x) - \sin(2x) - 5 = 0$

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной $\sin(x)$. Решим его:

7. Приведем уравнение к квадратному виду, заменив $\sin^2(x)$ на $1 - \cos^2(x)$: $8(1 - \cos^2(x)) - \sin(2x) - 5 = 0$

8. Раскроем скобки: $8 - 8\cos^2(x) - \sin(2x) - 5 = 0$

9. Перепишем $\sin(2x)$ через известное тождество $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$: $8 - 8\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 5 = 0$

10. Переносим все члены в одну сторону: $-8\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + 3 = 0$

11. Теперь воспользуемся факторизацией: $-2\cos(x)(4\cos(x) + 1) + 3 = 0$

12. Приравняем каждый множитель к нулю и решим уравнения:

a) $\cos(x) = 0$ Это уравнение имеет два решения на интервале $[0°, 360°]$: $x_1 = 90°$ и $x_2 = 270°$

b) $4\cos(x) + 1 = 0$ $4\cos(x) = -1$ $\cos(x) = -\frac{1}{4}$

rubyCopy code
  Это уравнение не имеет решений на интервале $[0°, 360°]$, так как значение косинуса ограничено диапазоном $[-1, 1]$.

Итак, уравнение $3\sin^2(180°-x)+2\sin(90°+x)\cos(90°+x)-5\sin^2(270°+x)=0$ имеет два решения: $x_1 = 90°$ и $x_2 = 270°$.