Question

Найдите значение производной сложной функции f(x)=ln(cosx) при x0=п/4

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

f(x)=㏑(cos x); f'(x)=?

Заменим cos x на u, тогда u' = (cos x)' = -sin x

Тогда (ln(u))'= (1/u) *u'=-sin x/cos x = -tg x.

При х=х0=π/4 получим = tg(π/4) = -1

Answer 3

Для нахождения производной сложной функции $f(x) = \ln(\cos x)$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции.

Правило дифференцирования сложной функции $u(v(x))$ выглядит следующим образом:

$\frac{{du}}{{dx}} = \frac{{du}}{{dv}} \cdot \frac{{dv}}{{dx}}$

где $u$ и $v$ - функции от $x$.

Теперь найдем производные компонентов:

1. Найдем $\frac{{dv}}{{dx}}$ для $v(x) = \cos x$: $\frac{{dv}}{{dx}} = -\sin x$

2. Найдем $\frac{{du}}{{dv}}$ для $u(v) = \ln(v)$: $\frac{{du}}{{dv}} = \frac{1}{v}$

Теперь мы можем вычислить производную сложной функции:

$f'(x) = \frac{{du}}{{dv}} \cdot \frac{{dv}}{{dx}} = \frac{1}{{\cos x}} \cdot (-\sin x)$

Теперь подставим $x = \frac{\pi}{4}$ для нахождения значения производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}} \cdot \left(-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$

Мы знаем, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, поэтому:

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{{\frac{1}{\sqrt{2}}}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\sqrt{2}$

Таким образом, значение производной функции $f(x) = \ln(\cos x)$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$ равно $-\sqrt{2}$.