Question

Найдите наибольшее решение неравенства sinx cos П/6-cosx sin П/6<=, принадлежащее интервалу [-П;П], ответ в градусах

Answer 1

$sinx\, cos\frac{\pi }{6}-cosx\, sin\frac{\pi }{6}\leq 0\\\\sin(x-\frac{\pi}{6})\leq 0\\\\-\pi +2\pi n\leq x-\frac{\pi }{6}\leq 0+2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\-\pi +\frac{\pi }{6}+2\pi n \leq x\leq \frac{\pi }{6}+2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\leq x\leq \frac{\pi }{6}+2\pi n,\; n\in Z\\\\x\in [-\pi ,\pi \, ]:\; \; x=-\frac{5\pi }{6}\; ,\; \frac{\pi }{6}\; .$

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте сначала преобразуем его. Учитывая, что cos(π/6) = (√3)/2 и sin(π/6) = 1/2, мы можем переписать неравенство следующим образом:

sin(x) * (√3)/2 - cos(x) * 1/2 ≤ 0

Теперь давайте приведем все к общему знаменателю:

(√3 * sin(x) - cos(x)) / 2 ≤ 0

Домножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

√3 * sin(x) - cos(x) ≤ 0

Теперь нам нужно найти значения угла x на интервале [-π, π], которые удовлетворяют этому неравенству.

На этом интервале угол x находится в третьем и четвертом квадрантах, где sin(x) и cos(x) имеют разные знаки. В третьем квадранте оба sin(x) и cos(x) отрицательны, а в четвертом квадранте оба положительны.

Таким образом, чтобы выполнить неравенство, нам нужно, чтобы:

• √3 * sin(x) ≤ cos(x)

Теперь решим это неравенство. Заметим, что √3 ≈ 1.732.

sin(x) ≤ cos(x) / √3

sin(x) ≤ (1/2) * cos(x)

Теперь найдем точки пересечения sin(x) и (1/2) * cos(x). Такие точки будут значениями угла x, которые удовлетворяют неравенству.

sin(x) = (1/2) * cos(x)

Поделим обе стороны на cos(x):

tan(x) = 1/2

Теперь найдем все углы x, удовлетворяющие этому уравнению на интервале [-π, π]. Для этого посмотрим на график тангенса:

Copy code
 ^

2 | . (') | . . 1 | . . | . . 0 +---------------------------> -π/2 -π 0 π π/2

Таким образом, углы x, удовлетворяющие уравнению tan(x) = 1/2 на интервале [-π, π], примерно равны:

x ≈ π/6 и x ≈ 7π/6

Теперь найдем значения sin(x) и cos(x) при x = π/6 и x = 7π/6:

sin(π/6) ≈ 1/2 cos(π/6) ≈ √3/2

sin(7π/6) ≈ -1/2 cos(7π/6) ≈ -√3/2

Теперь мы можем определить наибольшее решение неравенства, которое удовлетворяет исходному условию:

x = 7π/6

Измерим этот угол в градусах:

x ≈ 7π/6 ≈ 210°

Таким образом, наибольшее решение неравенства на интервале [-π, π] равно 210 градусам.